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出典検索?: "行列式" ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2017年10月）
この平行六面体の体積はベクトル r1, r2, r3 の成す 3 次正方行列の行列式の絶対値に一致する。

数学における行列式（ぎょうれつしき、英: determinant）とは、正方行列に対して定義される量で、歴史的には行列が表す一次方程式の可解性を判定する指標として導入された。幾何的には線型空間またはより一般の有限生成自由加群上の自己準同型に対して定義され、線型変換に対して線形空間の拡大率ということができる。行列の可逆性を判定する指標として線型代数学における最も重要な指標の一つと見なされている。
概要

X を実2次正方行列 X = [ a b c d ] {\displaystyle X={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}

とするとき、これは [ x y ] ↦ [ a x + b y c x + d y ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}ax+by\\cx+dy\end{bmatrix}}}

という平面上の線型変換を定めている。一方で、2つの平面ベクトル u = (u0, u1), v = (v0, v1) に対して、これらが張る平行四辺形の「向きも込めた」面積は A ( u , v ) = u 0 v 1 − u 1 v 0 {\displaystyle A(u,v)=u_{0}v_{1}-u_{1}v_{0}}

により指定されると考えることができる。このとき A(Xu, Xv) = (ad − bc)A(u, v) が成り立っているが、これは X の定める線型変換によって平面内の図形の面積が (ad − bc) 倍される、と解釈できる。

したがって、実2次正方行列 X に対して（上の記号の下で）det X ? ad − bc を対応させると、det(XY) = (det X)(det Y) であることや、det X > 0 であるとき X の定める変換は図形の向きを保ち、反対に det X < 0 であるとき図形の向きは反転させられることが分かる。det の乗法性から X が可逆ならば det X は逆数を持つ数であることが従うが、反対に X が退化した行列（つまり X の定める変換の像が一次元の部分空間）になる場合にはすべての図形の変換後の面積が 0 になることから det X = 0 となることがいえる。こうして、正方行列 X が正則であることと X の行列式が可逆であることは同値であることが分かる。

同様にして一般の次数のN次正方行列 X に対し、X の定める線型変換が超立体（N次図形）の超体積を何倍にしているかという符号付き拡大率を X の行列式として定義することができる。これは行列の成分を変数とする多項式の形で書け、二次の場合と同様にこれは正則性など正方行列の重要な性質に対する指標を与えている。一次方程式系が与えられるとき、方程式の係数行列に対してその行列式の値を調べることにより、方程式系の根の状態をある程度知ることができる。特にクラメルの公式により、根が一組である線型方程式系の根の公式が行列式を用いて表示される。
定義
抽象的な定義

K を可換環とし、E を階数 n の A 上の自由加群とする。E の n-次外冪 ?nE は A 上階数1の自由加群である。E 上の K-線型写像 ? について、?nE 上に引き起こされる K-準同型 ⋀ n ϕ : e 1 ∧ ⋯ ∧ e n ↦ ϕ ( e 1 ) ∧ ⋯ ∧ ϕ ( e n ) {\displaystyle {\textstyle \bigwedge ^{n}}\phi \colon e_{1}\wedge \dotsb \wedge e_{n}\mapsto \phi (e_{1})\wedge \dotsb \wedge \phi (e_{n})}

は一意的に定まるある a ∈ A に関する定数倍写像と一致する。この a は ? の行列式 det ? と呼ばれる。
明示的な定義詳細は「行列式に対するライプニッツの明示公式」を参照

n 次正方行列 A の i 行 j 列成分を ai,j で表すと、A の行列式は、次の式で定義される： det A = ∑ σ ∈ Aut ⁡ ( n ) { ( sgn ⁡ σ ) ∏ i = 1 n a i , σ ( i ) } {\displaystyle \det A=\sum _{\sigma \in \operatorname {Aut} (n)}{\biggl \{}(\operatorname {sgn} \sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\,\sigma (i)}{\biggr \}}}

ここで、Aut(n) は n 次対称群（{1, …, n} の自己同型群）sgn は置換の符号

を表す。

n 次正方行列の行列式は n 次の斉次多項式で、項を n! 個持つ（ライプニッツの公式）。

正方行列 A の行列式は、|A| あるいは det(A) と表記される。行列の成分を明示する場合は 。 [ a b c d ] 。 {\displaystyle \left|{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right|}

を単に 。 a b c d 。 {\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}

と書く。
二つの定義の同値性

Kn の標準基底を (e1, …, en) とする。正方行列 X を表す列ベクトルを v1, …, vn とすると、vj = Xej である。 ( ⋀ n X ) ( e 1 ∧ ⋯ ∧ e n ) = v 1 ∧ ⋯ ∧ v n {\displaystyle ({\textstyle \bigwedge ^{n}}X)(e_{1}\wedge \dotsb \wedge e_{n})=v_{1}\wedge \dotsb \wedge v_{n}}

であるが、ここで v 1 ∧ ⋯ ∧ v n = ( ∑ σ ∈ S n sgn ⁡ ( σ ) v σ ( 1 ) 1 v σ ( 2 ) 2 ⋯ v σ ( n ) n ) e 1 ∧ ⋯ ∧ e n {\displaystyle v_{1}\wedge \dotsb \wedge v_{n}={\biggl (}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )v_{\sigma (1)}^{1}v_{\sigma (2)}^{2}\dotsm v_{\sigma (n)}^{n}{\biggr )}e_{1}\wedge \dotsb \wedge e_{n}}

である。ただし、vi の第 i 成分を v j
i  と表した）。これは Kn 上 ?nX が (det X)-倍写像として作用していることを示している。