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出典検索?: "行列の階数"
線型代数学における行列の階数（かいすう、rank; ランク）は、行列の最も基本的な特性数 (characteristic) の一つで、その行列が表す線型方程式系および線型変換がどのくらい「非退化」であるかを示すものである。行列の階数を定義する方法は同値なものがいくつもある。
例えば、行列 A の階数 rank(A)（あるいは rk(A) または丸括弧を落として rank A）は、A の列空間（列ベクトルの張るベクトル空間）の次元[1]に等しく、また A の行空間の次元[2]とも等しい。行列の階数は、対応する線型写像の階数である。
行列の階数の概念はジェームス・ジョセフ・シルベスターが考えた[3]。
定義[ソースを編集]
任意の行列 A について、以下はいずれも同値である。
A の列ベクトルの線型独立なものの最大個数（A の列空間の次元）
A の行ベクトルの線型独立なものの最大個数（A の行空間の次元）
A に基本変形を施して階段行列 B を得たとする。このときの B の零ベクトルでない行（または列）の個数（階段の段数とも表現される）
表現行列 A の線型写像の像空間の次元。詳しくは#線型写像の階数を参照。
A の 0 でないような小行列式の最大サイズ
A の特異値の数
文献により、上記の条件のいずれかを以って行列 A の階数は定義される。
注意[ソースを編集]
いま A の列空間の次元を「列階数」、行空間の次元を「行階数」と呼べば、線型代数学における基本的な結果の一つとして、列階数と行階数は常に一致するという事実が成立するから、それらを単に A の階数と呼ぶことができる。これについて、Wardlaw (2005)[4] はベクトルの線型結合の基本性質に基づく四文証明を与えた（これは任意の体上で有効である）。また、Mackiw (1995) [2]は実数体上の行列に対して有効な、直交性を用いたエレガントな別証明を与えている。両証明とも教科書 Banerjee & Roy (2014) [5]に出ている。
性質[ソースを編集]
A を m × n 行列とする。また、 f を表現行列 A の線型写像とする。
一般の体上[ソースを編集]
m × n 行列の階数は非負整数で、m, n の何れも超えない。すなわち rank(A) ≤ min(m, n) が成り立つ。特に rank(A) = min(m, n) のとき、A は最大階数（full rank; フルランク; 充足階数、完全階数）を持つとかフルランク行列などといい、さもなくばA は階数落ち（英語版） (rank deficient; 階数不足) であるという。
A が零行列のときかつその時に限り rank(A) = 0.
f が単射となるための必要十分条件は、rank(A) = n（これを A は列充足階数を持つという）となることである。
f が全射となるための必要十分条件は、rank(A) = m となる（A が行充足階数を持つ）ことである。
A が正方行列（つまり m = n）のとき、A が正則であるための必要十分条件は、rank(A) = n（A が充足階数）となることである。
B を任意の n × k 行列として rank(AB) ≤ min(rank(A), rank(B)) が成り立つ。
B が行充足階数 n × k 行列ならば rank(AB) = rank(A) が成り立つ。
C が列充足階数 l × m 行列ならば rank(CA) = rank(A) が成り立つ。
rank(A) = r となるための必要十分条件は、m × m 正則行列 X と n × n 正則行列 Y が存在して X A Y = [ I r 0 0 0 ] {\displaystyle XAY={\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{bmatrix}}} が成立することである。ただし Ir は r × r 単位行列である。右辺の行列は A の階数標準形と呼ばれる。
rank(A) = rank(A?)（ A? は転置行列）
階数・退化次数の定理が成立
シルベスターの階数不等式