虚数単位(きょすうたんい、英: imaginary unit)は、2乗して −1 になる数である: i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1}
虚数単位 i は −1 の平方根の一つである。
i は実数でない。実数単位 1, 虚数単位 i は R 上線型独立である。
実数体に虚数単位 i を添加すると、四則演算ができる数の体系が得られる。この拡大体の元を複素数という。
虚数単位 i は実数でないため、感覚的には存在しない数ととらえられがちであるが、実数 C の直積集合の元として、実数の対(ハミルトンの定義)、行列表現、多項式環の剰余環などにより実現できる。「複素数#形式的構成」も参照
複素数平面では、虚数単位 i は、直交座標表示すると (0, 1) に当たる数である。
複素数に i を(左から)作用させると、複素数平面上で原点中心の 90° 回転になる。特に、虚数単位 i は、複素数平面上で実数単位 1 を原点中心に 90° 回転させたものである。
虚数単位を i で表したのはオイラーで、1770年頃である[1]。i はラテン語の imaginarius の頭文字から採られている[2]。
なお、文字 i が虚数単位以外の意味(電流など)として使われる場合に、重複を避けるべくj など別の文字で虚数単位を表すことがある。
積の交換法則などが成り立たないことを許容すると、相異なる3個以上の虚数単位からなる数の体系を考えることができる。3個の虚数単位(四元数)の場合は i , j , k {\displaystyle i,j,k} , 7個以上の虚数単位の組には i 1 , i 2 , ⋯ {\displaystyle i_{1},i_{2},\cdots } といったように一つずつ添字を付けて表すことが多い。 虚数単位 i とは、二次方程式 x2 + 1 = 0 の解の一つのことである: i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} 二次方程式 x2 + 1 = 0 の解は、(x + i)(x − i) = 0 より、x = ±i。ゆえに、虚数単位の値の指定は、互いに反数である2つの値の違いでしかない。 虚数単位 i は −1 の平方根の一つであり、1の原始4乗根でもある。 虚数単位 i は実数でない。実数単位 1, 虚数単位 i は実数 R 上線型独立である。 −1 以外の負の数の平方根の値は、虚数単位 i を用いて、次により指定する:a > 0 に対して、√ai 実数体に虚数単位 i を添加して得られる拡大体の元(要素)を複素数という。特に実数でない複素数を虚数という。 虚数単位 i の導入は、実係数の三次方程式が相異なる 3 個の実数解を持つ場合、係数の加減乗除と実冪根では解が表せず(還元不能
定義
複素数全体 C に、さらに複素数でない新たな虚数単位 j を添加した体の元を四元数という。このとき、ij = k とおくと、k も虚数単位である。すなわち k2 = −1 を満たす。この i, j, k をそのまま虚数単位とすることもできるが、複素数体の場合に −i を i と置き直しても同じ構造であるのと同じように、四元数体 H においても、虚数単位を取り直すことができる。すなわち、R3 の正規直交基底を一組選び、 f : R 3 → H ( ( a , b , c ) ↦ a i + b j + c k ) {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {H} \quad ((a,b,c)\mapsto ai+bj+ck)}
によって写した像を新たに i, j, k とおいて虚数単位としてもよい。基底を左手系に取ると ij = −k となってしまうので、数学的な必然性はないが、慣習として右手系が選ばれる。
つまり虚数単位は、複素数・四元数の範囲を、実数部分と虚数部分に分けた時の、後者の方の基本単位である。八元数・十六元数はさらに多くの虚数単位を持つ。 虚数は、16世紀のイタリアで、三次方程式を解く過程で発見された。 1637年、ルネ・デカルトは、複素数の虚部を "仏: Nombre imaginaire"(「想像上の数」)と名付けた。負の数でさえあまり認められていない時代に、実数直線上にない数の導入には懐疑的であった。詳細は「複素数#歴史」、「三次方程式#概要」、および「虚数#歴史」を参照 1770年頃、オイラーは虚数単位を i と表した[1]。i はラテン語の imaginarius の頭文字から採られている[2]。 直積集合、剰余環などの概念により、負の数の平方根を用いない複素数の構成ができる。 実数体 R の直積集合 R2 に和、積を(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)(a, b) × (c, d) = (ac − bd, ad + bc) で入れると、(a, b) は複素数 a + bi に対応する。この対応で、虚数単位 i は (0, 1) である。 四元数 は R4 の元に対応し、実数単位 1, 3個の虚数単位 i, j, k は R4 の正規直交基底に対応する。 実数体 R 上の多項式環 R[X] に対して、X2 + 1 で割った剰余環 R[X]/(X2 + 1) は、複素数体 C と体同型である。 この対応で、虚数単位は同値類 [X] である。 複素数を C 上の作用 に対応する。このとき J2 = −E(E は 2 次単位行列)である。 四元数についても同様に、四元数体 H における積を C2 に対して引き起こされる一次変換と見なすことにより J 1 = i σ 3 = ( i 0 0 − i ) , J 2 = i σ 2 = ( 0 1 − 1 0 ) , J 3 = i σ 1 = ( 0 i i 0 ) {\displaystyle J_{1}=i\sigma _{3}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}},\quad J_{2}=i\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},\quad J_{3}=i\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}} という三つの虚数単位の行列表現を考えることができる。ここで σ k ( k = 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle \sigma _{k}\ (k=1,2,3)} はパウリ行列である。また、C2 と見なすのでなく R4 と見なせば、実4次正方行列として表現することもできる。詳しくは四元数の項を参照されたい。 行列の積は結合的であるので、八元数や十六元数は(結合法則を満たさないため)行列表現できない。 n を整数、e をネイピア数とする。
負の数の平方根を用いない表現
ハミルトンの定義詳細は「複素数#実数の対として」を参照
多項式環からの構成
行列表現詳細は「複素数#行列表現」を参照
虚数単位の演算