自然変換（しぜんへんかん、英: natural transformation）とは、数学における「自然な同型」という概念の定式化として生まれ、その後圏および関手とともに圏論の中核を構成した数学的な対象である。圏論において自然変換は「関手の間の射」[注 1]とも表現され、圏の構造の中で関手の像を別の関手の像へ変換させる対応として定義される。

関手 F, G : C → D の間の自然変換 τ : F ⇒ G は、よい条件を満たす C の各対象によってパラメータ付けられた射の族 {τx: Fx → Gx}x ∈ C によって構成される。逆に、C の各対象によってパラメータ付けられた族 {τx: Sx → Tx}x ∈ C が関手の間の自然変換を構成する場合[注 2]、射の族 {τx}x ∈ C は x で自然である (natural in x) とも表現される。

自然変換は圏や関手と並んで非常に基本的な構成物であり、随伴、極限、モナド、モノイド圏など多くの場面で自然変換、あるいは射の自然性は議論されている。
定義

圏 C と D に対して、F と G を C から D への関手とするとき、F から G への自然変換 η : F ⇒ G (あるいは η : F → ∙ G {\textstyle \eta :F{\stackrel {\scriptscriptstyle \bullet }{\to }}G} と表記する[1]) とは、C の対象でパラメータ付けられた D の射の族 {ηX: F(X) → G(X)}X ∈ C であって、任意の C の射 f : X → Y に対して η Y ∘ F ( f ) = G ( f ) ∘ η X {\textstyle \eta _{Y}\circ F(f)=G(f)\circ \eta _{X}} を満たすもの、すなわち次の図式を可換にするものである： 自然変換の成分

自然変換 η : F ⇒ G を構成するそれぞれの射 ηX: F(X) → G(X) は η のコンポーネント (英: component) と呼ばれる。コンポーネントがすべて同型射であるとき、η は自然同型 (英: natural isomorphism) あるいは自然同値 (英: natural equivalence) であるという。

上記の図式を考慮しない、単なる射の族 {ϕx: Fx → Gx}x ∈ C0 (C0 は C の対象からなる部分集合) を、F から G への infranatural transformation と呼ぶことがある[2]。このとき、F から G への自然変換とは C の対象すべてをパラメータとする F から G への infranatural transformation {τx: Fx → Gx}x ∈ C であって、任意の f : x → y に対して τ y ∘ F ( f ) = G ( f ) ∘ τ x {\textstyle \tau _{y}\circ F(f)=G(f)\circ \tau _{x}} であるものと言い換えられる。infranatural transformation {ϕx: Fx → Gx}x ∈ C0 に対して、コンポーネントに {ϕx: Fx → Gx}x ∈ C0 を含むような自然変換を持つ最大の C の部分圏を nat ϕ と書いて ϕ のnaturalizerという[注 3]。
例
直積の結合性

集合 X, Y に対して、集合の直積 X × Y とはそれぞれの要素を成分に持つ順序対からなる集合 { ( x , y ) ∣ x ∈ X , y ∈ Y } {\textstyle \{(x,y)\mid x\in X,y\in Y\}} である。ここで、3つの集合 X, Y, Z に対して、(X × Y) × Z と X × (Y × Z) の2つの集合を考える。2つの集合は明らかに順序対のつけ方を変えただけのものであるため、同型 α X , Y , Z : ( X × Y ) × Z ≅ X × ( Y × Z ) {\displaystyle \alpha _{X,Y,Z}\colon (X\times Y)\times Z\cong X\times (Y\times Z)} を得る。この同型はさらに、X, Y, Z のそれぞれに対して自然である。すなわち、写像 ξ : X → X', η : Y → Y', ζ : Z → Z' に対して等式 α X ′ , Y ′ , Z ′ ∘ ( ( ξ × η ) × ζ ) = ( ξ × ( η × ζ ) ) ∘ α X , Y , Z {\textstyle \alpha _{X',Y',Z'}\circ ((\xi \times \eta )\times \zeta )=(\xi \times (\eta \times \zeta ))\circ \alpha _{X,Y,Z}} が成り立つ。このことは位相空間の圏 Top[3]、群の圏 Grp、小さい圏の圏 Cat など、直積を持つ圏一般[4]に成立する。
ベクトル空間の二重双対

体 K 上のベクトル空間 V に対して、双対空間 V*とは V から K への線形写像全体からなるベクトル空間である。このとき、V から二重双対空間 V** (すなわち、V*から K への線形写像からなる空間) への単射線形写像 ΨV: V → V**が Ψ V ( x ) : V ∗ ⟶ K φ ⟼ φ ( x ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\Psi _{V}(x)\colon {}&V^{*}&\longrightarrow {}&K\\&\varphi &\longmapsto {}&\varphi (x)\end{alignedat}}} によって定まる。さらに V が有限次元であるとき、ΨV は同型となる。明らかに ΨV は V の基底に依らずに定まるため、逆写像である Ψ-1
V も V**の基底に依らない。この意味で ΨV は特別な線形写像であり、また有限次元の場合について全ての有限次元ベクトル空間に対して同時に与えられるという意味で『自然』[注 4]である。