代数学において、与えられた群および環に対する群環（ぐんかん、英: group ring）は、与えられた群と環の構造を自然に用いて構成される。群環はそれ自身が、与えられた環を係数環とし与えられた群を生成系とする自由加群であって、なおかつ与えられた群の演算を生成元の間の演算として「線型に」延長したものを積とする環を成す。俗に言えば、群環は与えられた群の与えられた環の元を「重み」とする形式和の全体である。与えられた環が可換であるとき、群環は与えられた環上の多元環（代数）の構造を持ち、群多元環（ぐんたげんかん、英: group algebra; 群代数）（あるいは短く群環[注 1]）と呼ばれる。

群環は、特に有限群の表現論において重要な役割を果たす代数的構造である。無限群の群環はしばしば位相を加味した議論を必要とするため位相群の群環の項へ譲り、本項は主に有限群の群環を扱う。また、より一般の議論は群ホップ代数を見よ。
定義「モノイド環#定義」も参照

R を環、G を群 とする。
G を生成系とする R-係数の形式的な（「有限」）線型結合の全体（G 上の R-自由加群、特に R が体のときは自由ベクトル空間）を R[G] と書く（RG とも書かれる[1]）。即ち、任意の元 x ∈ R[G] は x = ∑ g ∈ G a g g ( a g ∈ R ) {\displaystyle x=\sum _{g\in G}a_{g}\,g\quad (a_{g}\in R)}

の形に書ける。ただし、右辺の和において有限個の例外を除く全ての g に対して ag = 0 でなければならない。G の元と R[G] の元との区別を明確にする場合には、各元 g ∈ G に対応する生成元を eg などと書いて x = ∑ g ∈ G a g e g {\displaystyle x=\sum _{g\in G}a_{g}\,e_{g}}

のようにも書く[2][注 2]。この集合 R[G] 上に項ごとの和 ( ∑ g ∈ G a g g ) + ( ∑ g ∈ G b g g ) := ∑ g ∈ G ( a g + b g ) ⋅ g {\displaystyle (\sum _{g\in G}a_{g}\,g)+(\sum _{g\in G}b_{g}\,g):=\sum _{g\in G}(a_{g}+b_{g})\cdot g}

を加法とし、G の積を線型に拡張した ( ∑ g ∈ G a g g ) ( ∑ g ∈ G b g g ) := ∑ g , h ∈ G ( a g b h ) ⋅ g h = ∑ g ∈ G ( ∑ h ∈ G a h b h − 1 g ) ⋅ g {\displaystyle (\sum _{g\in G}a_{g}\,g)(\sum _{g\in G}b_{g}\,g):=\sum _{g,h\in G}(a_{g}b_{h})\cdot gh=\sum _{g\in G}(\sum _{h\in G}a_{h}b_{h^{-1}g})\cdot g}

を乗法とする環を成し、さらにスカラー倍 r ⋅ ( ∑ g ∈ G a g g ) := ∑ g ∈ G ( r a g ) ⋅ g {\displaystyle r\cdot (\sum _{g\in G}a_{g}\,g):=\sum _{g\in G}(ra_{g})\cdot g} により R 上の多元環（線型環）を成す。この多元環 R[G] を G 上の R-係数の群環、G で生成される R 上の群環などと呼ぶ。

（離散位相に関して）群 G 上の R-値コンパクト台付き連続函数全体の成す空間 Cc(G; R) の元 f は、群 G から可換環 R への写像 f: G → R であって、有限な台を持つ（つまり有限個の例外を除き f(g) = 0 (g ∈ G) となる）ようなものである。点ごとの和 ( f + h ) ( g ) := f ( g ) + h ( g ) ( g ∈ G ) {\displaystyle (f+h)(g):=f(g)+h(g)\quad (g\in G)} と畳み込み ( f ∗ h ) ( g ) := ∑ γ ∈ G f ( γ ) h ( γ − 1 g ) {\displaystyle (f\ast h)(g):=\sum _{\gamma \in G}f(\gamma )h(\gamma ^{-1}g)} およびスカラー倍 ( r f ) ( g ) := r ( f ( g ) ) ( r ∈ R ) {\displaystyle (rf)(g):=r(f(g))\quad (r\in R)} のもと Cc(G; R) は R 上の多元環となる。

G の各元 g に対して、一点集合 {g} の R-値指示函数（ディラックのデルタ函数） δ g ( h ) := { 1 = 1 R ( h = g ) 0 = 0 R ( h ≠ g ) {\displaystyle \delta _{g}(h):={\begin{cases}1=1_{R}&(h=g)\\0=0_{R}&(h\neq g)\end{cases}}}

を考えるとき、Cc(G; R) は R 上の標準基底として {δg  |  g ∈ G} を持ち、 R [ G ] → C c ( G ; R ) ; ∑ g ∈ G a g g ↦ ∑ g ∈ G a g δ g {\displaystyle R[G]\to C_{c}(G;R);\;\sum _{g\in G}a_{g}\,g\mapsto \sum _{g\in G}a_{g}\delta _{g}}

は多元環の同型である。しばしばここでいう Cc(G; R) を（1. の場合と同じく） R[G] などとも書き、G の R 上の群環と呼ぶ[2]。

G が有限群ならば、この Cc(G; R) は G から R への写像全体の成す空間 RG (= R(G) = Hom(G, R)) に他ならない。これは無限群の場合には一般には成り立たないが、それでも以下に示すような意味で群環 R[G] と写像空間 RG は互いに双対の関係にある：

群環の元 x = ∑ g ∈ G a g g {\displaystyle x=\sum _{g\in G}a_{g}\,g}

と R-値写像 f: G → R の対に対して、内積 ( x , f ) = ∑ g ∈ G a g f ( g ) ∈ R {\displaystyle (x,f)=\sum _{g\in G}a_{g}f(g)\quad \in R}

が矛盾なく定まる（右辺が実質有限和であることに注意せよ）。
例

位数 3 の巡回群 G = ⟨ g 。g3 = 1 ⟩ を取り、ω = exp(2πi/3) とおく。このとき e 1 = 1 3 ( 1 + g + g 2 ) e 2 = 1 3 ( 1 + ω g + ω 2 g 2 ) e 3 = 1 3 ( 1 + ω 2 g + ω g ) {\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}&={\tfrac {1}{3}}(1+g+g^{2})\\e_{2}&={\tfrac {1}{3}}(1+\omega g+\omega ^{2}g^{2})\\e_{3}&={\tfrac {1}{3}}(1+\omega ^{2}g+\omega g)\end{aligned}}}

と群環 CG の元を定めると、これらは中心的直交原始冪等元分解 1 = e1 + e2 + e3 を与え、次の直既約分解と同型が得られる。 C G = e 1 C G ⊕ e 2 C G ⊕ e 3 C G ≅ ( C 0 0 0 C 0 0 0 C ) {\displaystyle \mathbb {C} G=e_{1}\mathbb {C} G\oplus e_{2}\mathbb {C} G\oplus e_{3}\mathbb {C} G\cong {\begin{pmatrix}\mathbb {C} &0&0\\0&\mathbb {C} &0\\0&0&\mathbb {C} \end{pmatrix}}}