数学のとくに群論における、生成元と基本関係による群の表示（ぐんのひょうじ、英: presentation of group）とは、群をその生成元と生成元の間に成り立つ関係によって特定することを言う。一般に群はある自由群の全射準同型像なので必ず表示を持つが、それは一意的ではない。
定義

集合 X から生成された自由群を F とし、R を X 上の語からなる集合とする。このとき R の正規閉包 N による商群を G = F/N とおく。これを G = ⟨ X ∣ R ⟩ {\displaystyle G=\langle X\mid R\rangle }

と表し、（生成元と基本関係による）群の表示という。またこのとき、X の元を生成元、R の元を関係（または定義関係、基本関係）といい、群 G は生成元と基本関係によって与えられると言う。基本関係 w ∈ R に対し、式 w = 1 (1 は G の単位元) は基本関係式とも呼ばれる。略式の言い方をすれば、N で割ることは G が自由群 F の元のうち、R に属する元を単位元 1 に等しいものとみなして得られるものであることを意味している。

X が有限集合であるとき G は有限生成であるといい、R が有限集合であるとき G は有限関係であるという。また X と R が共に有限集合のとき、群 G は有限型であるまたは有限表示されるという。

具体的に与えられた群 G が、有限生成、有限関係、有限表示であるとは、それぞれ有限生成、有限関係、有限表示であるような適当な表示を持つときに言う。
例
歴史的な例

生成元と関係による群の表示が現れる最初期の例は、1856年にアイルランドの数学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンが自身の本 icosian calculus（正二十面体群の解析）において正二十面体群（英語版）（＝正十二面体群）の表示を与えたものである[1]。

最初の系統的研究は、フェリックス・クラインの弟子であるヴァルター・フォンディック（英語版）が1880年代前半に、組合せ群論（英語版）の基礎付けに基づいて与えた[2]。
よくある例

⟨S | ∅⟩ は S 上の自由群である。自由群が「自由」であるというのは、この場合基本関係が（したがって任意の関係が）無いことを意味する。

X = {x} のとき ⟨X | ∅⟩ は無限巡回群、すなわち整数全体のなす加法群 Z と同型である。

自然数 n に対して X = {x}, R = {xn} とすれば ⟨X | R⟩ は位数 n の巡回群 Cn = Z/nZ と同型である。これを ⟨x | xn = 1⟩ と書くこともある。

R は S の元の交換子全体の成す集合とすると、⟨S | R⟩ は S 上の自由アーベル群である。

自然数 n に対して X = {s1, …, sn−1}, R = {si2  |  1 ≤ i < n} ∪ {(sisi+1)3  |  1 ≤ i < n − 1} ∪ {(sisj)2  |  |i − j| > 1} とすれば ⟨X | R⟩ は n 次対称群 Sn と同型である

自然数 n に対して X = {s1, …, sn−1}, R = {(sisi+1)3  |  1 ≤ i < n − 1} ∪ {(sisj)2  |  |i − j| > 1} とすれば ⟨X | R⟩ は n-次組み紐群 Bn に同型

素数 p に対して X = {x1, x2, x3, …}, R = {x1p, x2px1−1, x3px2−1, …} とすれば ⟨X | Y⟩ はプリューファー群 Z(p∞) と同型である。これを ⟨x1, x2, x3, … 。x1p = 1, x2p = x1, x3p = x2, …⟩ と書くこともある

以下の表は、よく調べられている群に対する表示の例を一覧したものである。各々の場合においてこれとは異なる表示の取り方が複数可能であり、以下に挙げたものも可能な最も効果的な表示とは限らないことに注意すべきである。

群表示補足
位数 2n の二面体群 Dn ⟨ r , f ∣ r n , f 2 , ( r f ) 2 ⟩ {\displaystyle \langle r,f\mid r^{n},f^{2},(rf)^{2}\rangle } ここで r は回転、f は鏡映を表す
無限二面体群（英語版） D∞ ⟨ r , f ∣ f 2 , ( r f ) 2 ⟩ {\displaystyle \langle r,f\mid f^{2},(rf)^{2}\rangle }
二重巡回群 Dicn ⟨ r , f ∣ r 2 n , r n = f 2 , f r f − 1 = r − 1 ⟩ {\displaystyle \langle r,f\mid r^{2n},r^{n}=f^{2},frf^{-1}{=}r^{-1}\rangle } r, f は上と同様。四元数群は n = 2 の場合
Z × Z ⟨ x , y ∣ x y = y x ⟩ {\displaystyle \langle x,y\mid xy=yx\rangle }
Z/mZ × Z/nZ ⟨ x , y ∣ x m , y n , x y = y x ⟩ {\displaystyle \langle x,y\mid x^{m},y^{n},xy=yx\rangle }
正四面体群（英語版） T ? A4 ⟨ s , t ∣ s 2 , t 3 , ( s t ) 3 ⟩ {\displaystyle \langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{3}\rangle }
正八面体群（英語版） O ? S4 ⟨ s , t ∣ s 2 , t 3 , ( s t ) 4 ⟩ {\displaystyle \langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{4}\rangle }
正十二面体群（英語版） I ? A5 ⟨ s , t ∣ s 2 , t 3 , ( s t ) 5 ⟩ {\displaystyle \langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle }
四元数群 Q8 ⟨ i , j ∣ j i j = i , i j i = j ⟩ {\displaystyle \langle i,j\mid jij=i,iji=j\rangle } 別の表示については Dicn の欄を参照
SL(2, Z) ⟨ a , b ∣ a b a = b a b , ( a b a ) 4 ⟩ {\displaystyle \langle a,b\mid aba=bab,(aba)^{4}\rangle } 位相的には a, b はトーラス上のデーンひねり（英語版）