数学において、群の表現（ぐんのひょうげん、英: group representation）とは、抽象的な群 G の元 g に対して具体的な線形空間 V の正則な線形変換としての実現を与える準同型写像 π: G → GL(V) のことである。線型空間 V の基底を取ることにより、π(g) をより具体的な正則行列として表すことができる。
定義
群の表現

群 G の各元 g に対して線形空間 V 上の線形変換 T(g) が対応し、 T ( g h ) = T ( g ) T ( h ) {\displaystyle T(gh)=T(g)T(h)}

が成り立つとき、g を T(g) に対応させる写像 T: G → GL(V) を群 G の線形空間 V 上の表現といい、線形空間 V を群 G の表現空間という。すなわち群 G の表現とは「群 G から線形空間 V 上の正則な線形変換のつくる群への準同型写像」のことである。

v ∈ V, g ∈ G に対して T(g)v のことを単に g ⋅ v あるいは gv と表すことが多い。

表現空間は群上の加群と見ることもできる。このとき表現空間は群環 CG 上表現加群と呼ばれ、このことを強調するために VCG と表すこともある。
表現行列

表現空間を明示したいときは組 (V, T) で表現を表す。表現空間 V の次元 n を表現の次元という。表現空間 V に適当な基底を導入すれば、T(g) は具体的に n 次正方行列で書き表せるから、群 G の表現とは「Gから正則行列の成す群 GLn への準同型写像である」といってもよい。このとき行列 T(g) を g の表現行列と呼ぶ。

つまり群 G に対応して行列の集合 Γ = { T ( g ) ∣ g ∈ G } {\displaystyle \Gamma =\{\,T(g)\mid g\in G\,\}} があり、任意の群の元 g, h に対して T(gh) = T(g)T(h) が成り立つとき、これらの行列を群 G の表現行列という。
同値な表現

群 G の2つの表現 (T1, V) と (T2, W) が与えられたとき、ある線型同型 S: V → W が存在して、すべての元 g に対して相似変換 S T 1 ( g ) S − 1 = T 2 ( g ) {\displaystyle ST_{1}(g)S^{-1}=T_{2}(g)}

で繋がるならば、表現 T1 と T2 は同値あるいは同型であるといい、両者は本質的には同じ表現である。この条件はすべての元 g に対して次の図式が可換であるといってもよい。 V ⟶ T 1 ( g ) V S ↓ ↓ S W ⟶ T 2 ( g ) W {\displaystyle {\begin{array}{ccc}V&{\stackrel {T_{1}(g)}{\longrightarrow }}&V\\{\scriptstyle S}\downarrow &&\downarrow {\scriptstyle S}\\W&{\stackrel {T_{2}(g)}{\longrightarrow }}&W\end{array}}}

なお、一般に、全単射とは限らないこのような変換を絡作用素（英語版）という。
特別な表現
恒等表現・忠実表現詳細は「自明表現（英語版）」および「忠実表現」を参照

対応 g ↦ T(g) は一般には単射であるとは限らない。たとえば、すべての元 g に恒等変換を対応させるものも表現であって、これは恒等表現あるいは自明表現（英語版）と呼ばれる。一方、対応 g ↦ T(g) が単射のときはその表現は忠実な表現であるという。
既約表現詳細は「既約表現」を参照

{ T ( g ) ∣ g ∈ G } {\displaystyle \{\,T(g)\mid g\in G\,\}} で不変な表現空間 V ≠ {0} の部分空間が Vと {0} のふたつ以外に存在しないとき、表現 (V, T) は既約であるという。既約でない表現を可約という。特に表現空間をいくつかの既約な不変部分空間の直和に分解できる場合、その表現を完全可約であるという。