この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方）
出典検索?: "置換積分"
この記事は英語版の対応するページを翻訳することにより充実させることができます。（2024年5月）翻訳前に重要な指示を読むには右にある[表示]をクリックしてください。
英語版記事を日本語へ機械翻訳したバージョン（Google翻訳）。
万が一翻訳の手がかりとして機械翻訳を用いた場合、翻訳者は必ず翻訳元原文を参照して機械翻訳の誤りを訂正し、正確な翻訳にしなければなりません。これが成されていない場合、記事は削除の方針G-3に基づき、削除される可能性があります。
信頼性が低いまたは低品質な文章を翻訳しないでください。もし可能ならば、文章を他言語版記事に示された文献で正しいかどうかを確認してください。
履歴継承を行うため、要約欄に翻訳元となった記事のページ名・版について記述する必要があります。記述方法については、Wikipedia:翻訳のガイドライン#要約欄への記入を参照ください。
翻訳後、{{翻訳告知|en|Integration by substitution|…}}をノートに追加することもできます。
Wikipedia:翻訳のガイドラインに、より詳細な翻訳の手順・指針についての説明があります。
微分積分学において置換積分（ちかんせきぶん, 英語: Integration by substitution）は、変数変換を用いて積分を計算する積分法である。 連続関数 f(x) と微分可能関数 x = g(t) について次の等式が成り立つ[注 1]。 ∫ f ( x ) d x = ∫ f ( g ( t ) ) g ′ ( t ) d t . {\displaystyle \int f(x)\,dx=\int f(g(t))g'(t)\,dt.} 導出には以下のように連鎖律と微分積分学の基本定理を用いる[1]。 d d t ∫ f ( x ) d x = d d x ∫ f ( x ) d x ⋅ d x d t = f ( x ) g ′ ( t ) = f ( g ( t ) ) g ′ ( t ) = d d t ∫ f ( g ( t ) ) g ′ ( t ) d t . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\int f(x)\,dx&={\frac {d}{dx}}\int f(x)\,dx\cdot {\frac {dx}{dt}}\\&=f(x)g'(t)=f(g(t))g'(t)\\&={\frac {d}{dt}}\int f(g(t))g'(t)\,dt.\end{aligned}}} この等式から変換公式の両辺の不定積分は t で微分したときに等しいことから、定数項の違いを除いて等しいことが帰結される。 また、変換公式は形式的に f(x) = f(g(t)) と dx = g'(t)?dt に分けて考えることができる[2]。後者は厳密には微分形式の理論によって正当化され、後述する多変数の置換積分と併せて積分の変数変換を一般化する。「微分形式#座標変換と積分」も参照 定積分で変数変換する際には、以下のように積分区間も変換される[1]。 ∫ g ( a ) g ( b ) f ( x ) d x = ∫ a b f ( g ( t ) ) g ′ ( t ) d t . {\displaystyle \int _{g(a)}^{g(b)}f(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt.}
一変数の置換
不定積分の置換積分
定積分の置換積分