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微分積分学において置換積分（ちかんせきぶん, 英語: Integration by substitution）は、変数変換を用いて積分を計算する積分法である。
一変数の置換
不定積分の置換積分

連続関数 f(x) と微分可能関数 x = g(t) について次の等式が成り立つ[注 1]。 ∫ f ( x ) d x = ∫ f ( g ( t ) ) g ′ ( t ) d t . {\displaystyle \int f(x)\,dx=\int f(g(t))g'(t)\,dt.}

導出には以下のように連鎖律と微分積分学の基本定理を用いる[1]。 d d t ∫ f ( x ) d x = d d x ∫ f ( x ) d x ⋅ d x d t = f ( x ) g ′ ( t ) = f ( g ( t ) ) g ′ ( t ) = d d t ∫ f ( g ( t ) ) g ′ ( t ) d t . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\int f(x)\,dx&={\frac {d}{dx}}\int f(x)\,dx\cdot {\frac {dx}{dt}}\\&=f(x)g'(t)=f(g(t))g'(t)\\&={\frac {d}{dt}}\int f(g(t))g'(t)\,dt.\end{aligned}}}

この等式から変換公式の両辺の不定積分は t で微分したときに等しいことから、定数項の違いを除いて等しいことが帰結される。

また、変換公式は形式的に f(x) = f(g(t)) と dx = g'(t)?dt に分けて考えることができる[2]。後者は厳密には微分形式の理論によって正当化され、後述する多変数の置換積分と併せて積分の変数変換を一般化する。「微分形式#座標変換と積分」も参照
定積分の置換積分

定積分で変数変換する際には、以下のように積分区間も変換される[1]。 ∫ g ( a ) g ( b ) f ( x ) d x = ∫ a b f ( g ( t ) ) g ′ ( t ) d t . {\displaystyle \int _{g(a)}^{g(b)}f(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt.}
例
例1 ∫ 0 2 x cos ⁡ ( x 2 + 1 ) d x . {\displaystyle \int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)\,dx.}

u = x2 + 1 で x から u に変数変換する。ここで、du = 2x dx なので x dx = (1/2)du である。また、x = 0 に対して u = 02+ 1 = 1 であり、x = 2 に対して u = 22+ 1 = 5 であるので、 ∫ x = 0 x = 2 x cos ⁡ ( x 2 + 1 ) d x = 1 2 ∫ u = 1 u = 5 cos ⁡ ( u ) d u = 1 2 ( sin ⁡ ( 5 ) − sin ⁡ ( 1 ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x=0}^{x=2}x\cos(x^{2}+1)\,dx&{}={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}\cos(u)\,du\\&{}={\frac {1}{2}}(\sin(5)-\sin(1))\end{aligned}}}

と計算できる。
例2 ∫ 0 1 1 − x 2 d x . {\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx.}

x = sin(u) で x から u に変数変換する。このとき、dx = cos(u) du である。また、0 = sin(0) および 1 = sin(π/2) であることから積分区間を [0, π/2] に変換すると、この区間において |cos(u)。= cos(u) であることに注意して、 ∫ 0 1 1 − x 2 d x = ∫ 0 π 2 1 − sin 2 ⁡ ( u ) cos ⁡ ( u ) d u = ∫ 0 π 2 。 cos ⁡ ( u ) 。 cos ⁡ ( u ) d u = ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ ( u ) d u = ( u 2 + sin ⁡ ( 2 u ) 4 ) 。