線形力学系（せんけいりきがくけい、英: linear dynamical system）とは、行列で定義され、線形性を持つ力学系である。
定義

一般に Rn における線形力学系は、ベクトル値関数 x(t) ∈ Rn と、n 次の正方行列 A により、次のような微分方程式で表される。 d d t x ( t ) = A x ( t ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {x} (t)=A\mathbf {x} (t)}

ただしこれは、x が連続的に変化する場合であり、離散系の場合には、 x m + 1 = A x m {\displaystyle \mathbf {x} _{m+1}=A\mathbf {x} _{m}}

で表される。

これが線形であるとは、x(t) と y(t) が解ならば、任意のスカラー a, b について、線形結合 ax(t) + by(t) も解である、ということを意味している。

線形力学系は、多くの非線形の場合と異なり、完全に解くことができる。このとき、解は行列の指数 etA（連続系）、もしくは累乗 An（離散系）によって表現され、その振る舞いは一般的に行列 A の固有値、固有ベクトルによって理解できる。非線形のときでも、変数変換により線型化して解くことができることもある。また、不動点の周りでの線形近似は、非線形系を理解するのに役立つ（ハートマン＝グロブマンの定理）。
線形力学系の解

初期値 x(0) = x0 が、行列 A の固有ベクトル vk ならば、初期条件は d d t x ( t ) 。 t = 0 = A v k = λ k v k {\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {x} (t)\right|_{t=0}=A\mathbf {v} _{k}=\lambda _{k}\mathbf {v} _{k}}

となる。ただし、λk は、固有ベクトル vk に対応する固有値である。このとき、解は、 x ( t ) = v k e λ k t {\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {v} _{k}\mathrm {e} ^{\lambda _{k}t}}

となる。

もし A が対角化可能ならば、任意の初期値 x0 は、固有ベクトルの線形結合で一意に表される。つまり、次のような係数 ak が一意に存在する。 x 0 = ∑ k = 1 n a k v k {\displaystyle \mathbf {x} _{0}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\mathbf {v} _{k}}

このとき解は、 x ( t ) = ∑ k = 1 n a k v k e λ k t {\displaystyle \mathbf {x} (t)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\mathbf {v} _{k}e^{\lambda _{k}t}}

となる。

対角化不可能な場合でも一般に行列の指数関数を用いて x ( t ) = e t A x 0 ( e t A = ∑ n = 0 ∞ t n n ! A n ) {\displaystyle \mathbf {x} (t)=e^{tA}\mathbf {x} _{0}\quad {\biggl (}e^{tA}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}A^{n}{\biggr )}}

と、解を導くことができる。
二次元の場合

二次元の線形力学系は、 d d t ( x y ) = A ( x y ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}}}

で表される。この系では、A は 2 次正方行列である。A の固有値は、行列式 Δ と、トレース τ を用いて、 λ 1 = τ + τ 2 − 4 Δ 2 {\displaystyle \lambda _{1}={\frac {\tau +{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}} λ 2 = τ − τ 2 − 4 Δ 2 {\displaystyle \lambda _{2}={\frac {\tau -{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}}

のように書くことができる。

また、 Δ = λ 1 λ 2 {\displaystyle \Delta =\lambda _{1}\lambda _{2}} であり、 τ = λ 1 + λ 2 {\displaystyle \tau =\lambda _{1}+\lambda _{2}} である。