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出典検索?: "線型近似" ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2015年11月）
一般の関数(緑線)を一次関数(赤線)で近似する．

数学における線型近似（せんけいきんじ、英: linear approximation）とは、一般の関数を一次関数を用いて（より正確に言えばアフィン写像を用いて）近似することである。

例えば、2回微分可能な一変数関数 f は、テイラーの定理の n = 1 の場合により、 f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + R 2 {\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R_{2}}

と表せる。R2は剰余項である。線型近似は剰余項を落とした f ( x ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) {\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)}

となる。この近似は x が a に十分近い場合に成り立つ。この式の右辺はちょうど元の f のグラフの (a, f(a)) における接線の表式となっており、そのことから、接線近似とも呼ばれる。 f ( x ) ≈ f ( a ) {\displaystyle f(x)\approx f(a)}

をaにおけるfの標準線型近似といい、x=a をセンターという。

線型近似は多変数関数に用いることもでき、この場合は導関数の代わりに関数行列が用いられる。例えば、微分可能な実関数 f(x, y) は、(a, b) に十分近い (x, y) においては次のように近似できる。 f ( x , y ) ≈ f ( a , b ) + ∂ f ∂ x ( a , b ) ( x − a ) + ∂ f ∂ y ( a , b ) ( y − b ) . {\displaystyle f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right)\left(y-b\right).}

右辺は z = f(x, y) のグラフの (a, b) における接平面の表式となっている。

さらに一般に、バナッハ空間においては f ( x ) ≈ f ( a ) + D f ( a ) ( x − a ) {\displaystyle f(x)\approx f(a)+Df(a)(x-a)}

と表される。ここで Df(a) は f の a におけるフレシェ微分である。
例

線型近似を用いて 25 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{25}}} の近似値を求めてみよう。
f ( x ) = x 1 / 3 {\displaystyle f(x)=x^{1/3}} という関数を考える。この関数について f(25) を求めればよい。

微分すると f ′ ( x ) = x − 2 / 3 / 3 {\displaystyle f'(x)=x^{-2/3}/3} である。

線型近似により f ( 25 ) ≈ f ( 27 ) + f ′ ( 27 ) ( 25 − 27 ) = 3 − 2 / 27 {\displaystyle f(25)\approx f(27)+f'(27)(25-27)=3-2/27} となる。

小数に直すとおよそ2.926であるが、これは確かに真の値2.924…に近い。

関連項目

差分法