数学において、p-階の線型回帰数列（せんけいかいきすうれつ、英: linear recurrence sequence; 線型循環数列）とは、各項がある可換体 K（典型的には複素数体 C や実数体 R）に値をとる数列であって、体 K の p 個のスカラー a0, a1, …, ap−1 (a0 ≠ 0) が存在して、任意の n ≥ n0 に対して、p-階の線型漸化式 u n + p = a 0 u n + a 1 u n + 1 + ⋯ + a p − 1 u n + p − 1 {\displaystyle u_{n+p}=a_{0}u_{n}+a_{1}u_{n+1}+\dotsb +a_{p-1}u_{n+p-1}} を満たすものの総称である。より一般には、係数 ai は n の函数とすることもできるが、本項においては基本的に定数係数の場合を扱う。このような数列は、最初の p 項（初期値あるいは初期条件と呼ばれる）が決まれば、残りの項は漸化式に従ってすべて一意に決定される。この数列または漸化式（離散力学系）が安定であるとは、任意の初期値集合に対して n を無限大に飛ばした極限（定常状態）が存在するときに言う。

高階の線型回帰列を調べることは線型代数学に属する問題である。そのような列の一般項は、列に付随する特性多項式と呼ばれる多項式の根が求まれば、それらによって記述することができる。上記の漸化式を満たす列に付随する特性多項式は P ( X ) = X p − ∑ i = 0 p − 1 a i X i = X p − a p − 1 X p − 1 − a p − 2 X p − 2 − ⋯ − a 1 X − a 0 {\displaystyle P(X)=X^{p}-\sum _{i=0}^{p-1}a_{i}X^{i}=X^{p}-a_{p-1}X^{p-1}-a_{p-2}X^{p-2}-\dots -a_{1}X-a_{0}} で与えられ、特性多項式の根は特性根と呼ばれる。特性多項式の次数は漸化式の階数に等しい。特に二階の回帰列の場合には、特性多項式の次数も 2 であり、その根の様子は判別式を用いて知ることができる。故に、二階線型回帰列は最初の二項の値のみから初等的な算術演算（和・差・積・冪）と正弦・余弦函数（考える体が実数体の場合）を用いて記述することができる。この種の数列の例には、よく知られたフィボナッチ数列があり、その各項は黄金比の冪を使って書くことができる。

一般に差分方程式は様々な文脈で用いられ、例えば経済学において、国内総生産やインフレ率、為替レートなどの時間発展する変数をモデル化する。差分方程式をそのような時系列のモデル化に用いるのは、それら変数の値が離散的間隔でのみ測られるからである。そのような応用において、線型差分方程式は自己回帰モデル (AR) や AR とその他の特徴を組み合わせたベクトル自己回帰（英語版） (VAR) および自己回帰移動平均モデル (ARMA) など、推計学的な言葉でモデル付けられる。
定義と簡単な事実

一般に体 K 上の（函数係数）p-階線型差分方程式 (linear difference equation)[1]:ch. 17[2]:ch. 10 あるいは線型漸化式 (linear recurrence relation) とは、数列 (fn)n∈N に関する漸化式で、n ≥ p なるとき ∑ i = 0 p a i ( n ) f n − i = b ( n ) ( ∀ n ∈ K , a p ( n ) ≠ 0 ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{p}a_{i}(n)f_{n-i}=b(n)\quad (\forall n\in \mathbb {K} ,a_{p}(n)\neq 0)}

の形に書けるものを言う。ここに、各係数函数 ai および函数 b は、自然数 n を変数とする K-値函数である。すべての ai, b が n に依らない一定の値をとるとき、漸化式は定数係数であるという。

n ≥ p なる全ての n に対して、上記の漸化式を満足する数列 (fn)n∈N をこの差分方程式の解と呼ぶ。解は明らかに最初の p 項の値によって特徴付けられる。

任意の n に対して b(n) = 0 のとき、差分方程式は斉次 (homogeneous) であるといい、そうでないとき非斉次 (inhomogeneous, non-homogeneous) と言う。任意の n に対して fn = 0 となる数列は明らかに斉次方程式を満たし、斉次方程式の自明解と呼ばれる。

一般性を失うことなく a0 = −1 として、別な表現 f n = a 1 ( n ) f n − 1 + a 2 ( n ) f n − 2 + ⋯ + a p ( n ) f n − p − b ( n ) = ∑ i = 1 p a i ( n ) f n − i − b ( n ) {\displaystyle f_{n}=a_{1}(n)f_{n-1}+a_{2}(n)f_{n-2}+\dots +a_{p}(n)f_{n-p}-b(n)=\sum _{i=1}^{p}a_{i}(n)f_{n-i}-b(n)} を与えることができる。これは fn が直前の p 項から決定されるという形になっている。

F, G が同じ斉次方程式の解ならば、αF + βG (α, β ∈ K) も同じ斉次方程式の解である

F, G が同じ非斉次方程式の解ならば、F − G は付随する斉次方程式の解になる。

非斉次方程式の解の一つ F が既知（特殊解）ならば、非斉次方程式の他の解は付随する斉次方程式の一般解 G との和として書ける。

斉次形への帰着

b ≠ 0 として非斉次の定数係数方程式 y n = a 1 y n − 1 + ⋯ + a p y n − p + b {\textstyle y_{n}=a_{1}y_{n-1}+\cdots +a_{p}y_{n-p}+b} を解くには、斉次形に変形するのが便利である。そのためにはまず、n を無限大に飛ばしたときの定常値 y*（それはこの線型変換の不動点である）を求めることが必要である。これは上記の方程式における任意の yn を y* と置いて解けば y ∗ = b 1 − a 1 − ⋯ − a p {\displaystyle y^{*}={\frac {b}{1-a_{1}-\cdots -a_{p}}}} と得られる（この分母が 0 ならば、定常値は存在しない）。

定常値がわかれば、上記の差分方程式は定常値からの各項の偏差に関する方程式 ( y n − y ∗ ) = a 1 ( y n − 1 − y ∗ ) + ⋯ + a p ( y n − p − y ∗ ) {\displaystyle (y_{n}-y^{*})=a_{1}(y_{n-1}-y^{*})+\dotsb +a_{p}(y_{n-p}-y^{*})} に書き直せて、これは非斉次項を持たない。xn ? yn − y* と置けばより簡潔に x n = a 1 x n − 1 + ⋯ + a p x n − p {\textstyle x_{n}=a_{1}x_{n-1}+\dotsb +a_{p}x_{n-p}} となる。

定常でない場合には、方程式 y n = a 1 y n − 1 + ⋯ + a p y n − p + b {\textstyle y_{n}=a_{1}y_{n-1}+\dotsb +a_{p}y_{n-p}+b} と添字を一つずらした方程式 y n − 1 = a 1 y n − 2 + ⋯ + a p y n − ( p + 1 ) + b {\textstyle y_{n-1}=a_{1}y_{n-2}+\dotsb +a_{p}y_{n-(p+1)}+b} から b を消去すれば y t − a 1 y t − 1 − ⋯ − a n y t − n = y t − 1 − a 1 y t − 2 − ⋯ − a n y t − ( n + 1 ) {\displaystyle y_{t}-a_{1}y_{t-1}-\cdots -a_{n}y_{t-n}=y_{t-1}-a_{1}y_{t-2}-\cdots -a_{n}y_{t-(n+1)}} が、もとの方程式より階数が一つ大きいものの斉次方程式として得ることができる。
一階線型回帰列詳細は「幾何数列」および「算術幾何数列」を参照