「一次変換」はこの項目へ転送されています。一次分数変換については「メビウス変換」をご覧ください。
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出典検索?: "線型写像" ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2020年7月）

数学の特に線型代数学における線型変換（せんけいへんかん、英: linear transformation、一次変換）あるいは線型写像（せんけいしゃぞう、英: linear mapping）は、ベクトルの加法とスカラー倍を保つ特別の写像である。特に任意の（零写像でない）線型写像は「直線を直線に移す」。
概要

抽象代数学の言葉を用いれば、線型写像とは（体上の加群としての）ベクトル空間の構造を保つ準同型のことであり、また一つの固定された体上のベクトル空間の全体は線型写像を射とする圏を成す。

「線型変換」は線型写像とまったく同義と扱われる場合もあるが、始域と終域を同じくする線型写像（自己準同型）の意味で用いていることも少なくない。また函数解析学の分野では、（特に無限次元空間上の）線型写像のことを「線型作用素」（せんけいさようそ、英: linear operator）と呼ぶことも多い。スカラー値の線型写像はしばしば「線型汎函数」もしくは「一次形式」（いちじけいしき、英: linear form, one-form; 線型形式; 1-形式）とも呼ばれる[注釈 1]。線形等の用字・表記の揺れについては線型性を参照
定義

V と W とを同じ体 ? の上のベクトル空間とする。V から W への写像 f が、任意のベクトル x, y ∈ V と任意のスカラー c ∈ ? に対し、
加法性: f(x + y) = f(x) + f(y),

斉一次性: f(cx) = cf (x)

をともに満たすとき[注釈 2]、f を ? 上の線型写像 または簡単に ?-線型写像という。考えているベクトル空間および線型写像がどの体上のものであるかが明らかなときには、省略して単に「 f は V から W への線型写像である」などということもある[注釈 3]。

上記の二性質を合わせて線型性と呼び、また有限個のスカラー λi とベクトル vi に対して線型性: f ( ∑ i = 1 r λ i v i ) = ∑ i = 1 r λ i f ( v i ) {\displaystyle f{\Big (}\sum _{i=1}^{r}\lambda _{i}v_{i}{\Bigr )}=\sum _{i=1}^{r}\lambda _{i}f(v_{i})}

のような形で言及することもある。
例と反例

恒等写像（値を変えない写像）および零写像（全てを零ベクトルへ写す写像：0-値函数）は何れも線型である。

実函数 f(x) ? ax (a は定数) は線型である。

実函数 f(x) ? x + 1 は線型でない（がアフィンにはなる）。線型変換は原点を変えない。

実函数 f(x) ? x2 は線型でない。


m × n 実行列 A は列ベクトル x ∈ ?n を列ベクトル Ax ∈ ?m へ写す線型写像を定める。逆に、有限次元ベクトル空間の間の任意の線型写像は（それぞれの空間の基底を一つ固定するとき）行列で表現される。またこのとき、線型写像 f をその表現行列 Af へ写す写像（行列表現）はそれ自身が線型写像になる（後述）。

M ? M(n, ?) を n 次実正方行列の全体がなす n2 次元ベクトル空間とする。x ∈ M に対し、写像 ad x: M → M を adx(y) ? xy − yx で定義すると、ad x は線型写像である。さらに、M から End?(M) への写像 ad: x ? ad x も線型である。

? の適当な区間 (数学)上の定積分は、その区間上の実数値可積分函数の空間からの線型写像である。

不定積分（あるいは原始函数）は、得られる函数が積分定数の分だけ無数に存在するため、線型写像とみなすことはそのままではできない。


微分は可微分函数全体の成す空間から函数全体の成す空間への線型写像である。

確率変数 X の期待値 ?[X] は E [ c X + a ] = c E [ X ] + a {\displaystyle \mathbb {E} [cX+a]=c\,\mathbb {E} [X]+a} を満たすから線型写像となるが、分散 ?[X] は ?[cX + a] = c2?[X] で斉一次性が成り立たないので線型でない。