総乗（そうじょう）とは、積の定義される集合における多項演算の一つで、元の列の全ての積のことである。
定義

結合律を満たす積 × の定義される集合 M の元の列 a1, a2, …, an の総乗を ∏ k = 1 n a k = a 1 × a 2 × ⋯ × a n {\displaystyle \prod _{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}\times a_{2}\times \cdots \times a_{n}}

などと表す。記号 ∏ はギリシャ文字のパイ (Pi) であり、これは積 (Product、ギリシャ語でΠρο??ν) の頭文字 P に相当する文字である。

有限集合 E に対し、E の濃度を n とする。このとき、E の元を I = {1, 2, …, n} で添え字付けて、E の元の全体を「I を添え字集合とする元の列 (xi)i∈I 」とすることができる。この列の総乗を ∏ E = ∏ x ∈ E x = ∏ i ∈ I x i = ∏ k = 1 n x k {\displaystyle \prod E=\prod _{x\in E}x=\prod _{i\in I}x_{i}=\prod _{k=1}^{n}x_{k}}

などのように表す。ここで、E の濃度が 0、すなわち、添え字集合 I が空集合であってもよい。特に、集合 M が積 × に関する単位元 1M を持つとき、空集合を添え字集合とする列（空な列）の総乗は 1M であるとする。（空積も参照） ∏ ∅ = ∏ x ∈ ∅ x = 1 M {\displaystyle \prod \emptyset =\prod _{x\in \emptyset }x=1_{M}}
積が非結合的な場合

積が結合的でないならば、積をとる順番が問題になるので、a1 × a2 × … × an という記号自体が意味を持たないが、たとえば、部分列を用いて以下のように帰納的に定義することは可能である。

p 1 = a 1 , {\displaystyle p_{1}=a_{1},}

p k + 1 = p k × a k + 1 {\displaystyle p_{k+1}=p_{k}\times a_{k+1}}

このとき、 p n = ∏ k = 1 n a k {\displaystyle p_{n}=\prod _{k=1}^{n}a_{k}} と書くことにすると、 ∏ k = 1 n a k = ( ⋯ ( ( a 1 × a 2 ) × a 3 ) × ⋯ × a n ) {\displaystyle \prod _{k=1}^{n}a_{k}=(\cdots ((a_{1}\times a_{2})\times a_{3})\times \cdots \times a_{n})}

の意味になる。このようなものはあまり応用がない。
無限乗積

総和と同様に、可算無限列 ( x n ) n ∈ N {\displaystyle (x_{n})_{n\in {\boldsymbol {\mathsf {N}}}}} の総乗 ∏ n = 1 ∞ x n {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }x_{n}}

を定義することができ、無限積とか無限乗積 (infinite product) と呼ばれる。これらは極限操作であり、総和より微妙な意味で収束性を吟味しなければならない。
定義

実数や複素数からなる可算列 ( x n ) n ∈ N {\displaystyle (x_{n})_{n\in {\boldsymbol {\mathsf {N}}}}} の無限乗積を定義する。無限乗積 ∏ n = 1 ∞ x n {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }x_{n}} が収束するとは2条件

ある番号 m から先では常に xn ≠ 0 (n > m)[1]

部分積 pn := xm+1 … xn (n > m) がゼロでない値 Pm に n → ∞ の極限で収束する

が成り立つことをいう[2][3]。無限乗積 ∏ n = 1 ∞ x n {\displaystyle \textstyle \prod _{n=1}^{\infty }x_{n}} が収束するとき、その値を ∏ n = 1 ∞ x n = x 1 ⋯ x m P m {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }x_{n}=x_{1}\dotsb x_{m}P_{m}}

と定める。この値は番号 m の取り方に依存しない。無限乗積が収束するならば、limn→∞ xn = 1 が成り立つ[4]。

また数列 ( x n ) n ∈ N {\displaystyle (x_{n})_{n\in {\boldsymbol {\mathsf {N}}}}} に対して無限乗積 ∏ n = 1 ∞ ( 1 + 。 x n 。 ) {\displaystyle \textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+\vert x_{n}\vert )} が収束するとき、無限乗積 ∏ n = 1 ∞ ( 1 + x n ) {\displaystyle \textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+x_{n})} は絶対収束するという[5][3]。