この項目では、主に実数の絶対値について説明しています。その他の場合の詳細については「#その他の絶対値の各リンク先」をご覧ください。
数の絶対値は零からの距離と考えられる

数学における実数 x の絶対値（ぜったいち、英: absolute value）または母数（ぼすう、英: modulus）|x| は、その符号を無視して得られる非負の値を言う。つまり正数 x に対して |x| = x および負数 x に対して |x| = ?x（このとき ?x は正）であり、また |0| = 0 である。例えば 3 の絶対値は 3 であり ?3 の絶対値も 3 である。数の絶対値はその数の零からの距離と見なすことができる。

実数の絶対値を一般化する概念は、数学において広範で多様な設定のもとで生じてくる。例えば、絶対値は複素数、四元数、順序環、体などに対しても定義することができる。様々な数学的あるいは物理学的な文脈における大きさ（英語版） (magnitude) や距離およびノルムなどの概念は、絶対値と緊密な関係にある。
用語と記法

1806年にジャン?ロベール・アルガン（英語版）が導入した用語 module は、フランス語で「測る単位」を意味する言葉で、特に複素数の絶対値を表すためのものであった[1][2]。それは対応するラテン語の modulus として1866年に英語にも借用翻訳されている[1]。absolute value が本項に言う意味で用いられたのは、少なくとも1806年にフランス語で[3]および1857年に英語で[4][注釈 1]見られる。両側を縦棒で括る記法 |x| はカール・ヴァイアシュトラスが1841年に導入した[5]:25。絶対値を表すほかの名称には numerical value[1]（数値）や magnitude[1]（大きさ）などが挙げられる。プログラム言語や計算機ソフトでは x の絶対値を abs(x) のような函数記法で表すことが一般に行われる。

縦棒で括る記法は他の数学的文脈でもいくつも用いられる（例えば、集合を縦棒で括ればその集合の濃度を表し、行列に用いれば行列式を表す）。したがって、縦棒が絶対値を表すためのものか判断するには、その引数が絶対値の概念が定義される代数的対象（例えば、実数や複素数や四元数などのノルム多元体）かどうかに注意が払われなければならない。絶対値とよく似て非なる概念に縦棒記法が使われる例として、Rn のベクトルに対するユークリッドノルム[6]:1および上限ノルム[7]:4などが挙げられるが、これらについては二重縦棒と下付き添字を用いた記法（それぞれ ‖ • ‖2 および ‖ • ‖∞）を用いるのがより一般的で紛れも少ない。
定義

実数 x の絶対値は「実数から符号を取り除いたもの」: 。 x 。 := max { x , − x } = { x ( x ≥ 0 ) − x ( x < 0 ) {\displaystyle |x|:=\max\{x,-x\}={\begin{cases}x&(x\geq 0)\\-x&(x<0)\end{cases}}} として[8]、あるいは「0 からの距離」[注釈 2]: 。 x 。 := x 2 {\displaystyle |x|:={\sqrt {x^{2}}}} として[9]:A5与えられる。実数に対してこれら二つの条件は互いに同値である。
性質

基本的な性質として、任意の実数 a, b について

非負性: |a| ≥ 0.

非退化性: a = 0 のとき、且つそのときに限って、|a| = 0.

偶性: |−a| = |a|.

劣加法性: |a + b| ≤ |a| + |b|.