この項目では、主に実数の絶対値について説明しています。その他の場合の詳細については「#その他の絶対値の各リンク先」をご覧ください。
数の絶対値は零からの距離と考えられる

数学における実数 x の絶対値（ぜったいち、英: absolute value）または母数（ぼすう、英: modulus）|x| は、その符号を無視して得られる非負の値を言う。つまり正数 x に対して |x| = x および負数 x に対して |x| = ?x（このとき ?x は正）であり、また |0| = 0 である。例えば 3 の絶対値は 3 であり ?3 の絶対値も 3 である。数の絶対値はその数の零からの距離と見なすことができる。

実数の絶対値を一般化する概念は、数学において広範で多様な設定のもとで生じてくる。例えば、絶対値は複素数、四元数、順序環、体などに対しても定義することができる。様々な数学的あるいは物理学的な文脈における大きさ（英語版） (magnitude) や距離およびノルムなどの概念は、絶対値と緊密な関係にある。
用語と記法

1806年にジャン?ロベール・アルガン（英語版）が導入した用語 module は、フランス語で「測る単位」を意味する言葉で、特に複素数の絶対値を表すためのものであった[1][2]。それは対応するラテン語の modulus として1866年に英語にも借用翻訳されている[1]。absolute value が本項に言う意味で用いられたのは、少なくとも1806年にフランス語で[3]および1857年に英語で[4][注釈 1]見られる。両側を縦棒で括る記法 |x| はカール・ヴァイアシュトラスが1841年に導入した[5]:25。絶対値を表すほかの名称には numerical value[1]（数値）や magnitude[1]（大きさ）などが挙げられる。プログラム言語や計算機ソフトでは x の絶対値を abs(x) のような函数記法で表すことが一般に行われる。

縦棒で括る記法は他の数学的文脈でもいくつも用いられる（例えば、集合を縦棒で括ればその集合の濃度を表し、行列に用いれば行列式を表す）。したがって、縦棒が絶対値を表すためのものか判断するには、その引数が絶対値の概念が定義される代数的対象（例えば、実数や複素数や四元数などのノルム多元体）かどうかに注意が払われなければならない。絶対値とよく似て非なる概念に縦棒記法が使われる例として、Rn のベクトルに対するユークリッドノルム[6]:1および上限ノルム[7]:4などが挙げられるが、これらについては二重縦棒と下付き添字を用いた記法（それぞれ ‖ • ‖2 および ‖ • ‖∞）を用いるのがより一般的で紛れも少ない。
定義

実数 x の絶対値は「実数から符号を取り除いたもの」: 。 x 。 := max { x , − x } = { x ( x ≥ 0 ) − x ( x < 0 ) {\displaystyle |x|:=\max\{x,-x\}={\begin{cases}x&(x\geq 0)\\-x&(x<0)\end{cases}}} として[8]、あるいは「0 からの距離」[注釈 2]: 。 x 。 := x 2 {\displaystyle |x|:={\sqrt {x^{2}}}} として[9]:A5与えられる。実数に対してこれら二つの条件は互いに同値である。
性質

基本的な性質として、任意の実数 a, b について

非負性: |a| ≥ 0.

非退化性: a = 0 のとき、且つそのときに限って、|a| = 0.

偶性: |−a| = |a|.

劣加法性: |a + b| ≤ |a| + |b|.

などが成立する。

これは距離函数が満たす性質と対応する（後述）。

また、

冪等性: | |a| | = |a|.

乗法性: |ab| = |a|⋅|b|.

などの性質が成り立つ。

実数の絶対値に関して、 。 a 。 ≤ b ⟺ − b ≤ a ≤ b {\displaystyle |a|\leq b\iff -b\leq a\leq b} 。 a 。 ≥ b ⟺ a ≤ − b ∨ b ≤ a {\displaystyle |a|\geq b\iff a\leq -b\lor b\leq a}

は、絶対値を含む不等式を扱うのに有用である。

例えば、|x - 3| ? 9 ⇔ −9 ? x − 3 ? 9 ⇔ −6 ? x ? 12 などとできる。
絶対値函数絶対値函数のグラフ三次函数と絶対値函数の異なる順番での合成

実数の絶対値が定める非負実数値函数 R ∋ x ? |x| ∈ R+ は至る所連続で、x = 0 を除き至る所微分可能[注釈 3]である。また、区間 (?∞,0] 上で単調減少であり、区間 [0,+∞) で単調増加である。各実数とその反数の絶対値は同じ値であるから、絶対値函数は偶函数であり、それゆえ逆函数を持たない。この実絶対値函数は区分線型凸函数である。また、冪等である。

符号函数 sign(x) を用いれば、|x| = x sign(x) と書ける。また x = |x| sign(x) であり、x ≠ 0 のとき sign(x) = x/|x| = |x|/x が成り立つ。

x ≠ 0 における導函数 d 。 x 。 / d x = { 1 ( x > 0 ) − 1 ( x < 0 ) {\displaystyle d|x|/dx={\begin{cases}1&(x>0)\\-1&(x<0)\end{cases}}}

は sign(x)（あるいは本質的にヘヴィサイドの階段関数[10][11]）であり、定義可能な範囲 R ∖ {0} における連続函数であるが、x = 0 における値をどのように定めるとしても R 全体で連続な函数へ延長することは出来ない。

x = 0 における |x| の劣微分係数は、区間 [?1,1] である[12]:31?32。

|x| の x に関する二階導函数は x = 0 を除く至る所存在して零に等しい（x = 0 では存在しない）。しかし超函数微分の意味での二階導函数はディラックデルタの二倍に等しい。

また絶対値函数は任意区間で可積分であり、その原始函数が ∫ 。 x 。 d x = 1 2 x 。 x 。 + C = 1 2 x 2 sgn ⁡ x + C {\displaystyle \int |x|\,dx={\frac {1}{2}}x|x|+C={\frac {1}{2}}x^{2}\operatorname {sgn} x+C}

で与えられることも右辺を微分することにより直ちに確かめられる。
絶対値が誘導する距離「ノルム」も参照

絶対値の基本性質、非負性・非退化性・偶性・劣加法性は、二数の絶対差を考えることにより、ノルム（絶対値ノルム）として距離函数が満たす性質と対応しており、x, y, z を任意の実数として

非負性: |x − y| ≥ 0,

不可識別者同一性: |x − y| = 0 ⇔ x = y,

対称性: |x − y| = |y − x|,