数学における（結合）線型環あるいは結合的代数または結合多元環（けつごうたげんかん、英: associative algebra）は、結合的な環であって、かつそれと両立するような、何らかの体上の線型空間（若しくはもっと一般の可換環上の加群）の構造を備えたものである。即ち、線型環 A は（結合律や分配律を含む）幾つかの公理を満足する二項演算（内部演算）としての加法と乗法を備え、同時に乗法と両立するスカラー（体 K や環 R の元）による乗法（外部演算）を備える。

分野によっては、線型環が乗法単位元 1 を持つと仮定することが典型的である場合もある。このような余分の仮定を満たすことを明らかにする場合には、そのような線型環を単型線型環（単位的（結合）多元環）と呼ぶ。
厳密な定義

可換環 R を固定して考える。結合 R-代数とは、加法的に書かれたアーベル群 A であって、環および R-加群の構造をともに備え、かつ環としての乗法が任意の r ∈ R, x, y ∈ A について r ⋅ ( x y ) = ( r ⋅ x ) y = x ( r ⋅ y ) {\displaystyle r\cdot (xy)=(r\cdot x)y=x(r\cdot y)}

を満たすという意味で R-双線型となるものをいう。

結合代数 A が単型あるいは単位的であるとは、 1 x = x = x 1 {\displaystyle 1x=x=x1}

を如何なる x ∈ A についても満たすような元 1 ∈ A を持つことをいう。

結合代数 A が、それ自身環として可換ならば、A は可換 R-代数と言う。
特別な R-加群として

R-加群 A から始めるならば、R-線型環 A は、R-双線型写像 m: A × A → A; (x, y) ? xy で、A の任意の x, y, z について x ( y z ) = ( x y ) z {\displaystyle x(yz)=(xy)z}

を満たすものを持つ R-加群 A として定義される。この R-双線型写像が A に環の構造を与え、R-線型環の構造が入るのである。任意の R-線型環はこの方法で得られる。

さらにこのようにして得られた線型環 A が単型である必要十分な条件は ∃ 1 ∈ A , 1 x = x 1 = x {\displaystyle \exists 1\in A,\;1x=x1=x}

となることである。圏論的に述べれば、この定義は「単型 R-線型環は R-加群全体の成すモノイド圏 R-Mod におけるモノイド対象である」と言うに等しい。
特別な環として

環 A から始めるならば、単位的結合 R-多元環は、像が環 A の中心に入る環準同型 η: R → A によって与えられる。こうして得られる多元環 A は、任意の r ∈ R および x ∈ A に対して r x := η ( r ) x {\displaystyle rx:=\eta (r)x}

と定めることにより R-加群の構造を持つ。

環 A が可換ならば、A の中心は A 自身と等しいから、可換 R-多元環は単に、可換環の準同型　η: R → A によって定義することができる。
多元環準同型

R-結合多元環の間の準同型とは、R-線型な環準同型を言う。陽に書けば、二つの R-結合多元環 A1, A2 に対し、写像 φ: A1 → A2 が R-線型環準同型であるとは、任意の r ∈ R および x, y ∈ A1 に対して ϕ ( r x ) = r ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (rx)=r\phi (x)} ϕ ( x + y ) = ϕ ( x ) + ϕ ( y ) {\displaystyle \phi (x+y)=\phi (x)+\phi (y)} ϕ ( x y ) = ϕ ( x ) ϕ ( y ) {\displaystyle \phi (xy)=\phi (x)\phi (y)}

を満たすことを言う。単位的 R-結合代数に対する準同型は、上記に加えてさらに ϕ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \phi (1)=1}

なることを要す。

単位的結合 R-代数の全てと、それらの間の全ての単位的結合代数準同型を合わせたものは圏を成し、R-Alg などで表される。可換 R-線型環の成す部分圏は、可換環の圏 CRing の余スライス圏 R/CRing として特徴づけられる。
例

体 K に成分をとる n-次正方行列の全体は、K-上の単型線型環を成す。

複素数の全体 C は、実数体 R 上二次元の単型線型環を成す。

四元数の全体 H は、実数体 R 上の四次元単型線型環を成す（が、複素数体上の線型環にはならない。これは C を H の部分集合と見做したとき、各複素数は任意の四元数と可換とは限らないからである）。

平面上の変換として有用な、実二次正方行列の全体は線型環を成す。

実係数多項式の全体 R[X] は、実数体 R 上の単型線型環を成す。

任意のバナッハ空間 X に対し、連続線型作用素 A: X → X の全体は、（作用素の合成を積として）単型線型環を成す。これはバナッハ線型環である。

任意の位相空間 X に対し、X 上の実（または複素）数値連続函数の全体は、実（または複素）単型線型環を成す。ただし、ここでは函数の和と積は点ごとの演算で入れる。

単型でない線型環の例の一つは、x → ∞ での極限が 0 となるような函数 f: R → R 全体の成す集合によって与えられる。

クリフォード線型環は幾何学および物理学において有用である。

局所有限半順序集合の隣接代数は、組合せ論で用いられる単型線型環である。

任意の環 A を一意的な仕方で Z-線型環と見做すことができる。事実、1 を A の単位元へ写すということから環準同型 Z → A が一意的に定まる。従って、環の概念と Z-線型環の概念とは同一の概念を定める（これは任意のアーベル群と Z-加群とが同一の概念であることと同様である）。

同様にして、標数 n の任意の環は (Z/nZ)-線型環になる。

任意の環 A はその中心 Z(A)（及びその任意の部分環）上の線型環である。

任意の可換環 R は自分自身あるいはその任意の部分環上の線型環である。

R-加群 M に対し、その自己準同型環 EndR(M) は (rφ)(x) := r(φ(x)) と定めて R-線型環となる。

可換環 R に成分を持つ任意の全行列環は、行列の通常の和と乗法に関して R-線型環を成す。これはひとつ前の例で M が有限生成 R-自由加群である場合と考えられる。