「素数階乗」あるいは「階乗素数」とは異なります。

素数階乗素数（そすうかいじょうそすう、英: primorial prime）とは、p を素数として、p# ± 1 の形で表される素数である。ここで、p# は素数階乗（p 以下の素数の総乗）である。素数階乗素数は、n! ± 1 の形の素数である階乗素数の類似の概念である。2022年12月現在、42個が知られている。
ユークリッド数

素数に限らず、p# + 1 の形の数をユークリッド数 (Euclid number) と呼ぶ。名の由来は、素数が無数に存在することの証明のために、ユークリッドがこの数を用いたと広く信じられていることによる[1]。初めのいくつかのユークリッド数は、以下の通り。3, 7, 31, 211, 2311, 30031, 510511, 9699691, 223092871, …（オンライン整数列大辞典の数列 A6862）

このうち、素数であるもののみを抜き出すと、3, 7, 31, 211, 2311, 200560490131, …（A18239）

であり、この次の数は154桁になる。p# + 1 が素数となるような素数 p は、2017年8月現在で2, 3, 5, 7, 11, 31, 379, 1019, 1021, 2657, 3229, 4547, 4787, 11549, 13649, 18523, 23801, 24029, 42209, 145823, 366439, 392113（A5234）

の22個が知られている。このうち最大のもの 392113# + 1 は169,966桁の数で、2001年9月にダニエル・ホイヤー (Daniel Heuer) により発見された[2]。
クンマー数

p# − 1 の形の数は、クンマーがユークリッドの定理を証明するのに用いた、という由来があり、第二ユークリッド数またはクンマー数(Kummer number)と呼ばれている。小さい順に以下の通りである。1, 5, 29, 209, 2309, 30029, 510509, 9699689, 223092869, 6469693229, …（A57588）

このうち、素数であるもののみを抜き出すと、5, 29, 2309, 30029, 304250263527209, 23768741896345550770650537601358309, …（A57705）

である。p# − 1 が素数となるような素数 p は、2017年8月現在で3, 5, 11, 13, 41, 89, 317, 337, 991, 1873, 2053, 2377, 4093, 4297, 4583, 6569, 13033, 15877, 843301, 1098133 （A6794）

の20個が知られている。このうち最大のもの 1098133# − 1 は476,311桁の数で、2012年3月に分散コンピューティングプロジェクトの PrimeGrid により発見された[2]。
素数探索

p# ± 1 の形の素数が無数にあるのかも、合成数が無数にあるのかも分かっていない[3]。ポーヤ・ジェルジは、p# + 1 が素数になる頻度はどのくらいか、と質問した学生に、「愚者が問うことができるが、賢者が答えることができない質問はたくさんある」と答えたという[4]。

コールドウェルとギャロットは、2002年までに、105 以下の全ての素数 p に対して p# ± 1 が素数であるかどうか検査した[5]。ホイヤーがコールドウェルに非公式に伝えたところによると、2004年までに 42,507番目の素数 (512,903) 以下の p に対して、p# + 1 が素数であるかどうかは検査済みである[6]。
脚注^ ユークリッドはより一般の議論をしたのであって、この数を用いたというのは正確ではない。M. Hardy and C. Woodgold, ⇒Prime Simplicity, Mathematical Intelligencer, volume 31, number 4, 2009, 44-52.
^ a b Prime Pages, ⇒The Top Twenty: Primorial
^ Guy, A2
^ Wells, primorial の項
^ C. K. Caldwell, ⇒primorial prime - Prime Pages
^ .mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:#d33}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:#d33}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#3a3;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}Weisstein, Eric W. "Primorial Prime". mathworld.wolfram.com (英語).

参考文献

ChrisK. Caldwell 著、SOJIN 訳『素数大百科』共立出版、2004年2月1日。ISBN 978-4320017597。  - Prime Pages を訳したもの

David Wells 著、伊知地宏（監訳）、さかいなおみ（翻訳） 訳『プライムナンバーズ ―魅惑的で楽しい素数の事典 (O’Reilly math series)』オライリー・ジャパン、2008年10月25日。ISBN 978-4873113807。 

Richard Guy (2004-08-09). Unsolved Problems in Number Theory (Problem Books in Mathematics), 3rd edition. Springer. ISBN 978-0387208602 

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Primorial Prime". mathworld.wolfram.com (英語).

Weisstein, Eric W. "Euclid Number". mathworld.wolfram.com (英語).

C. K. Caldwell ⇒primorial prime - Prime Pages.

関連項目

素数階乗

階乗素数

素数が無数に存在することの証明

表

話

編

歴
素数の分類
生成式

フェルマー (22n + 1)

メルセンヌ (2p − 1)

二重メルセンヌ (22p−1 − 1)

ワグスタッフ ((2p + 1)/3)

プロス (k・2n + 1)

階乗 (n! ± 1)

素数階乗 (pn# ± 1)

ユークリッド (pn# + 1)

ピタゴラス (4n + 1)

ピアポント (2u・3v + 1)

Quartan（英語版） (x4 + y4)

ソリナス（英語版） (2a ± 2b ± 1)

カレン (n・2n + 1)

ウッダル (n・2n − 1)

Cuban（英語版） ((x3 − y3)/(x − y))

キャロル ((2n − 1)2 − 2)

Kynea ((2n + 1)2 − 2)

レイランド (xy + yx)

サービト（英語版） (3・2n − 1)

ミルズ ([A]3n)

漸化式（英語版）

フィボナッチ

リュカ

ペル

ニューマン?シャンクス?ウィリアムズ

ペラン

分割

ベル

モツキン

各種の性質

ヴィーフェリッヒ（英語版） (対（英語版）)