約数関数(やくすうかんすう、英: divisor function)は、自然数 n を変数とする関数で、n の全ての約数を整数乗した数の総和を値にとるものである。 自然数 n に対して、約数関数 σx(n) とは、n の約数 d の x 乗和を値に取る関数である: σ x ( n ) = ∑ d 。 n d x {\displaystyle \sigma _{x}(n)=\textstyle \sum \limits _{d|n}d^{x}} 特に、x = 0 のとき σ0(n) は n の約数の個数を表し、d(n) や τ(n) と表されることもある。x = 1 のとき σ1(n) は n の約数の総和であり、単に省略して σ(n) と表す場合もある。 また、約数関数 σx(n) のk階反復を σ x k ( n ) := σ x ( ⋯ ( σ x ⏟ k ( n ) ⋯ ) {\displaystyle {\sigma _{x}}^{k}(n):=\underbrace {\sigma _{x}(\cdots (\sigma _{x}} _{k}(n)\cdots )} と書く。例えば σ x 2 ( n ) = σ x ( σ x ( n ) ) , σ x 3 ( n ) = σ x ( σ x ( σ x ( n ) ) ) {\displaystyle {\sigma _{x}}^{2}(n)=\sigma _{x}(\sigma _{x}(n)),\quad {\sigma _{x}}^{3}(n)=\sigma _{x}(\sigma _{x}(\sigma _{x}(n)))} である。 k = 1 、x = 1 のときはどちらもそれぞれ省略して、σ(n) = σ1(n)(k=x=1の場合)、σ2(n)(k=2,x=1の場合)などと表記する場合もある。 σ0(n) の値は、小さい順に次のようになる:1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4 …(オンライン整数列大辞典の数列 A000005 σ1(n) の値は、小さい順に次のようになる:1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 18, 12, 28, 14, 24, 24 …(オンライン整数列大辞典の数列 A000203
定義
概要
σ2(n) の値は、小さい順に次のようになる:1, 5, 10, 21, 26, 50, 50, 85, 91, 130, 122, 210, 170, 250, 260 …(オンライン整数列大辞典の数列 A001157) 例えば n = 15 では、d(15) = σ0(15) = 10 + 30 + 50 + 150 = 4,σ(15) = σ1(15) = 11 + 31 + 51 + 151 = 24,σ2(15) = 12 + 32 + 52 + 152 = 260 p を素数とすると、p の約数は 1 と p の 2個のみであるから d(p) = 2, σ(p) = p + 1 となる。また、n を自然数とすると、pn の約数は 1, p, p2, …, pn の n + 1個なので d(pn) = n + 1, σ(pn) = (pn+1 − 1)/(p − 1) となる。 d(n) および σ(n) は n = 1 のとき最小値 1 をとる。d(n) = n の解は n = 1, 2 の 2 個のみであり、σ(n) = n の解や d(n) = σ(n) の解は n = 1 のみである。n ? 3 では 2 ? d(n) < n < σ(n) が成り立つ。
計算例
特徴
n を素因数分解して以下の式の形で表す。 n = ∏ i = 1 r p i a i {\displaystyle n=\textstyle \prod \limits _{i=1}^{r}{p_{i}}^{a_{i}}}
ここで r は n の素因子の個数、pi はその中で i 番目に小さい素因子、ai は素因数分解で現れる各素因子の指数部である。ここから σ x ( n ) = ∏ i = 1 r p i ( a i + 1 ) x − 1 p i x − 1 ( x ≠ 0 ) {\displaystyle \sigma _{x}(n)=\textstyle \prod \limits _{i=1}^{r}{\frac {{p_{i}}^{(a_{i}+1)x}-1}{{p_{i}}^{x}-1}}\quad (x\neq 0)}
が導かれる。これは σ x ( n ) = ∏ i = 1 r ∑ j = 0 a i p i j x = ∏ i = 1 r ( 1 + p i x + p i 2 x + ⋯ + p i a i x ) {\displaystyle \sigma _{x}(n)=\textstyle \prod \limits _{i=1}^{r}\sum \limits _{j=0}^{a_{i}}{p_{i}}^{jx}=\prod \limits _{i=1}^{r}(1+{p_{i}}^{x}+{p_{i}}^{2x}+\cdots +{p_{i}}^{a_{i}x})}