約数関数（やくすうかんすう、英: divisor function）は、自然数 n を変数とする関数で、n の全ての約数を整数乗した数の総和を値にとるものである。
定義

自然数 n に対して、約数関数 σx(n) とは、n の約数 d の x 乗和を値に取る関数である： σ x ( n ) = ∑ d 。 n d x {\displaystyle \sigma _{x}(n)=\textstyle \sum \limits _{d|n}d^{x}}

特に、x = 0 のとき σ0(n) は n の約数の個数を表し、d(n) や τ(n) と表されることもある。x = 1 のとき σ1(n) は n の約数の総和であり、単に省略して σ(n) と表す場合もある。

また、約数関数 σx(n) のk階反復を σ x k ( n ) := σ x ( ⋯ ( σ x ⏟ k ( n ) ⋯ ) {\displaystyle {\sigma _{x}}^{k}(n):=\underbrace {\sigma _{x}(\cdots (\sigma _{x}} _{k}(n)\cdots )}

と書く。例えば σ x 2 ( n ) = σ x ( σ x ( n ) ) , σ x 3 ( n ) = σ x ( σ x ( σ x ( n ) ) ) {\displaystyle {\sigma _{x}}^{2}(n)=\sigma _{x}(\sigma _{x}(n)),\quad {\sigma _{x}}^{3}(n)=\sigma _{x}(\sigma _{x}(\sigma _{x}(n)))} である。

k = 1 、x = 1 のときはどちらもそれぞれ省略して、σ(n) = σ1(n)（k=x=1の場合）、σ2(n)（k=2,x=1の場合）などと表記する場合もある。
概要

σ0(n) の値は、小さい順に次のようになる：1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4 …（オンライン整数列大辞典の数列 A000005）

σ1(n) の値は、小さい順に次のようになる：1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 18, 12, 28, 14, 24, 24 …（オンライン整数列大辞典の数列 A000203）

σ2(n) の値は、小さい順に次のようになる：1, 5, 10, 21, 26, 50, 50, 85, 91, 130, 122, 210, 170, 250, 260 …（オンライン整数列大辞典の数列 A001157）
計算例

例えば n = 15 では、d(15) = σ0(15) = 10 + 30 + 50 + 150 = 4,σ(15) = σ1(15) = 11 + 31 + 51 + 151 = 24,σ2(15) = 12 + 32 + 52 + 152 = 260
特徴

p を素数とすると、p の約数は 1 と p の 2個のみであるから d(p) = 2, σ(p) = p + 1 となる。また、n を自然数とすると、pn の約数は 1, p, p2, …, pn の n + 1個なので d(pn) = n + 1, σ(pn) = (pn+1 − 1)/(p − 1) となる。

d(n) および σ(n) は n = 1 のとき最小値 1 をとる。d(n) = n の解は n = 1, 2 の 2 個のみであり、σ(n) = n の解や d(n) = σ(n) の解は n = 1 のみである。n ? 3 では 2 ? d(n) < n < σ(n) が成り立つ。

約数関数 σx(n) は乗法的関数（英: Multiplicative function）であるが、完全乗法的関数（英語版）ではない。 gcd ( a , b ) = 1 ⟹ σ x ( a b ) = σ x ( a ) σ x ( b ) . {\displaystyle \gcd(a,b)=1\Longrightarrow \sigma _{x}(ab)=\sigma _{x}(a)\sigma _{x}(b).}

n を素因数分解して以下の式の形で表す。 n = ∏ i = 1 r p i a i {\displaystyle n=\textstyle \prod \limits _{i=1}^{r}{p_{i}}^{a_{i}}}

ここで r は n の素因子の個数、pi はその中で i 番目に小さい素因子、ai は素因数分解で現れる各素因子の指数部である。ここから σ x ( n ) = ∏ i = 1 r p i ( a i + 1 ) x − 1 p i x − 1 ( x ≠ 0 ) {\displaystyle \sigma _{x}(n)=\textstyle \prod \limits _{i=1}^{r}{\frac {{p_{i}}^{(a_{i}+1)x}-1}{{p_{i}}^{x}-1}}\quad (x\neq 0)}

が導かれる。これは σ x ( n ) = ∏ i = 1 r ∑ j = 0 a i p i j x = ∏ i = 1 r ( 1 + p i x + p i 2 x + ⋯ + p i a i x ) {\displaystyle \sigma _{x}(n)=\textstyle \prod \limits _{i=1}^{r}\sum \limits _{j=0}^{a_{i}}{p_{i}}^{jx}=\prod \limits _{i=1}^{r}(1+{p_{i}}^{x}+{p_{i}}^{2x}+\cdots +{p_{i}}^{a_{i}x})}

と同値である。x = 0 のときは σ 0 ( n ) ≡ d ( n ) = ∏ i = 1 r ( a i + 1 ) {\displaystyle \sigma _{0}(n)\equiv d(n)=\textstyle \prod \limits _{i=1}^{r}(a_{i}+1)}

となる。例えば n = pq （p, q は素数）とすると、σ(n) = (1 + p)(1 + q) = n + p + q + 1, d(n)=(1 + 1)(1 + 1) = 4 となる。

約数関数から導き出される数列 a n = σ ( a n − 1 ) {\displaystyle a_{n}=\sigma (a_{n-1})} はその初期値によって異なる発散の仕方をする。( a1 = 1 を除く)
例. a1 = 2 のとき 2, 3, 4, 7, 8, 15, 24, 60, 168, 480, … (オンライン整数列大辞典の数列 A007497)a1 = 5 のとき 5, 6, 12, 28, 56, 120, 360, 1170, 3276, … (オンライン整数列大辞典の数列 A051572)a1 = 16 のとき 16, 31, 32, 63, 104, 210, 576, 1651, 1792, … (オンライン整数列大辞典の数列 A257349)この初期値は 2, 5, 16, 19, 27, 29, 33, 49, 50, 52, 66, 81, 85, 105,… (オンライン整数列大辞典の数列 A257348)
その他の公式

オイラーは約数関数が以下のように表されることを示した。[1]

　　 σ 1 ( n ) = σ 1 ( n − 1 ) + σ 1 ( n − 2 ) − σ 1 ( n − 5 ) − σ 1 ( n − 7 ) + σ 1 ( n − 12 ) + σ 1 ( n − 15 ) − . . . = ∑ i = 1 ∞ ( − 1 ) i + 1 ( σ 1 ( n − 1 2 ( 3 i 2 − i ) ) + σ 1 ( n − 1 2 ( 3 i 2 + i ) ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}(n)&=\sigma _{1}(n-1)+\sigma _{1}(n-2)-\sigma _{1}(n-5)-\sigma _{1}(n-7)+\sigma _{1}(n-12)+\sigma _{1}(n-15)-...\\&=\sum _{i=1}^{\infty }{(-1)^{i+1}}\left(\sigma _{1}\left(n-{\frac {1}{2}}(3i^{2}-i)\right)+\sigma _{1}\left(n-{\frac {1}{2}}(3i^{2}+i)\right)\right)\end{aligned}}}