箙_(数学) - 暇つぶしWikipedia

箙_(数学)

数学、特に結合代数の表現論において箙（えびら）あるいはクイバー（英: quiver）とは、多重辺とループを許す有向グラフのことである。P. Gabriel（フランス語版）によって1972年に導入された [1]。代数的閉体上の任意の有限次元代数は、ある箙から定まる道代数の商代数と森田同値になる (Gabriel)。
定義

集合 V, E と写像 s, t: E → V が与えられたとき、組 Q = (V, E, s, t) を箙という [2]。このとき V の元を頂点、E の元を辺あるいは矢という。また辺 α ∈ E に対して頂点 s(α) を始点、t(α) を終点という。(V, E) は (Q0, Q1) や (I, Ω) とも書かれ、s, t は out, in とも書かれる。

頂点集合 V と辺集合 E が共に有限集合のとき、箙 Q は有限であるという。また、各頂点を出入りする辺が有限個であるとき、箙は局所有限であるという。

辺の列 α1, …, αn ∈ E が条件 t(αi) = s(αi + 1) (1 ≤ i < n) を満たすとき、辺の列 α1, …, αn を道という。このとき n ≥ 1 を道の長さ、頂点 a = s(α1) を道の始点、b = t(αn) を道の終点という。この道を記号で以下のように表す。 ( a 。 α 1 , … , α n 。 b ) {\displaystyle (a|\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{n}|b)}

ここで、頂点 v ∈ V のことを便宜的に長さが 0 の（自明な）道といい、その始点と終点は v と定める。上と同様にこれを (v||v) と表す。
道代数

箙 Q に対して、長さ 0 以上の道からなる集合を基底とする体 k 上の自由線型空間を kQ とおく。ここで道 (a|α1, …, αn|b) と (c|β1, …, βm|d) に対して以下のように積を定める。 ( a 。 α 1 , … , α n 。 b ) ( c 。 β 1 , … , β m 。 d ) = { ( a 。 α 1 , … , α n , β 1 , … , β m 。 d ) ( b = c ) 0 ( b ≠ c ) {\displaystyle (a|\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}|b)(c|\beta _{1},\dotsc ,\beta _{m}|d)={\begin{cases}(a|\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{n},\beta _{1},\dotsc ,\beta _{m}|d)&(b=c)\\0&(b\neq c)\end{cases}}}

この代数 kQ を道代数（英: path algebra）という [3]。
例

頂点集合 V を {1, …, n}, 辺集合 E を {α1, …, αn−1}, s(αi) = i + 1, t(αi) = i とおく。通常、箙 Q = (V, E, s, t) は以下のように図示される。 Q : 1 ⟵ α 1 2 ⟵ α 2 ⋯ ⟵ α n − 1 n {\displaystyle Q:1{\stackrel {\alpha _{1}}{\longleftarrow }}2{\stackrel {\alpha _{2}}{\longleftarrow }}\dotsb {\stackrel {\alpha _{n-1}}{\longleftarrow }}n}

このとき、道代数 kQ は n 次下三角行列のなす代数と同型である [4]。

Size:18 KB
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
担当:undef