算術幾何平均を定義する数列とは異なる。また、算術×幾何数列とも異なる

数学における算術幾何数列（さんじゅつきかすうれつ、仏: suite arithmetico-geometrique; 英: arithmetico–geometric sequence）は、一次の漸化式を満足する数列で、算術数列および幾何数列をともに一般化する[注釈 1]。
定義

ここでは任意の可換体 K をひとつ固定する（例えば実数体 ? や複素数体 ?）。K に値をとる数列 ( u n ) n ∈ N {\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }} が算術幾何数列であるとは、K の適当な元 a, b が存在して、その数列が以下の漸化式 u n + 1 = a u n + b ( ∀ n ∈ N ) {\displaystyle u_{n+1}=au_{n}+b\quad (\forall n\in \mathbb {N} )} を満足するときに言う。[1]
注意
途中の番号から始まる列 (un)n?n0 は、vp = un0+p と置くことにより、常に (vp)p∈? なる形に書き直せる[2]。そのような列 (un) が n ? n0 において上記の漸化式を満たすことと、(vp)p∈? が算術幾何的であることとは同値になる。
性質

算術幾何数列は二階線型回帰数列で、斉次線型漸化式 u n + 1 = ( a + 1 ) u n − a u n − 1 {\textstyle u_{n+1}=(a+1)u_{n}-au_{n-1}} の解として与えられる。

算術幾何数列の「公差」b は以下の式で与えられる: b = u n 2 − u n − 1 u n + 1 u n − u n − 1 . {\displaystyle b={\frac {u_{n}^{2}-u_{n-1}u_{n+1}}{u_{n}-u_{n-1}}}.}

算術幾何数列の階差数列 w n = u n + 1 − u n {\textstyle w_{n}=u_{n+1}-u_{n}} は、公比 a の幾何数列である。

算術幾何数列の部分和の列 Sn は三階の線型回帰数列で S n + 1 = ( a + 2 ) S n − ( 2 a + 1 ) S n − 1 + a S n − 2 {\displaystyle S_{n+1}=(a+2)S_{n}-(2a+1)S_{n-1}+aS_{n-2}} を満足する。

部分和の列が算術幾何数列を成すような数列は、それ自身が幾何数列を成す。

一般項
a = 1 の場合

a = 1 のとき、漸化式は、 u n + 1 = u n + b ( ∀ n ∈ N ) {\displaystyle u_{n+1}=u_{n}+b\quad (\forall n\in \mathbb {N} )} となり、これは算術数列の漸化式であるから、一般項は u n = u 0 + n b ( ∀ n ∈ N ) {\displaystyle u_{n}=u_{0}+nb\quad (\forall n\in \mathbb {N} )} となる。
a ≠ 1 の場合

r = b 1 − a {\textstyle r={\frac {b}{1-a}}} と置けば、一般項は u n = a n ( u 0 − r ) + r ( ∀ n ∈ N ) {\displaystyle u_{n}=a^{n}(u_{0}-r)+r\quad (\forall n\in \mathbb {N} )} で与えられる（a = n = 0 のときは 00 = 1 と約束する）。平行移動による証明[3]

まず付随する函数 x ? ax + b に対し f(r) = r を満たす点 r（f の不動点）を求めると、 a r + b = r ⟺ r = b / ( 1 − a ) . {\displaystyle ar+b=r\iff r=b/(1-a).} と書ける。ここで v n = u n − r {\textstyle v_{n}=u_{n}-r} と置けば、漸化式 un + 1 = aun + b は vn + 1 + r = a(vn + r) + b から v n + 1 = a v n + a r + b − r = a v n {\displaystyle v_{n+1}=av_{n}+ar+b-r=av_{n}} となり、数列 (vn) は公比 a の幾何数列を成す。したがって u n = v n + r = a n v 0 + r = a n ( u 0 − r ) + r . {\displaystyle u_{n}=v_{n}+r=a^{n}v_{0}+r=a^{n}(u_{0}-r)+r.} 階差による証明

一階の差分 wn = un + 1 ? un をとれば、算術幾何数列の線型漸化式は w n + 1 = u n + 2 − u n + 1 = ( a u n + 1 + b ) − ( a u n + b ) = a ( u n + 1 − u n ) = a w n {\displaystyle w_{n+1}=u_{n+2}-u_{n+1}=(au_{n+1}+b)-(au_{n}+b)=a(u_{n+1}-u_{n})=aw_{n}} となり、数列 (wn) は公比 a の幾何数列で、初項 w 0 = u 1 − u 0 = a u 0 + b − u 0 = ( a − 1 ) u 0 + b {\textstyle w_{0}=u_{1}-u_{0}=au_{0}+b-u_{0}=(a-1)u_{0}+b} を持つ。したがって、幾何級数の部分和の公式から、任意の自然数 n に対して（n = 0 のときは空和は零とする規約を用いて）、 ∑ 0 ≤ k < n w k = w 0 a n − 1 a − 1 = ( a − 1 ) u 0 + b a − 1 ( a n − 1 ) {\displaystyle \sum _{0\leq k<n}w_{k}=w_{0}{\frac {a^{n}-1}{a-1}}={\frac {(a-1)u_{0}+b}{a-1}}(a^{n}-1)} と書ける。これは r = b/(1 ? a) と置けば u n − u 0 = ( u 0 − r ) ( a n − 1 ) {\textstyle u_{n}-u_{0}=(u_{0}-r)(a^{n}-1)} だから、所期の式 u n = ( u 0 − r ) ( a n − 1 ) + u 0 = a n ( u 0 − r ) + r {\displaystyle u_{n}=(u_{0}-r)(a^{n}-1)+u_{0}=a^{n}(u_{0}-r)+r} に達する。

定義節の注意に従えば、より一般に: u n = a n − n 0 ( u n 0 − r ) + r ( ∀ n 0 ∈ N , ∀ n ≥ n 0 ) {\displaystyle u_{n}=a^{n-n_{0}}(u_{n_{0}}-r)+r\quad (\forall n_{0}\in \mathbb {N} ,\,\forall n\geq n_{0})} と書ける。