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数学において算術幾何平均（さんじゅつきかへいきん、Arithmetic-geometric mean）とは、2 つの複素数（しばしば正の実数）に対して算術平均（相加平均）と幾何平均（相乗平均）を繰り返し用いて作られる数列の極限のこと。
定義

。 arg ⁡ ( b / a ) 。 ≠ π {\displaystyle |\arg(b/a)|\neq \pi } である複素数 a ,   b {\displaystyle a,\ b} について

a 0 = a , b 0 = b {\displaystyle a_{0}=a,\quad b_{0}=b}
a n + 1 = a n + b n 2 , b n + 1 = a n b n ( n ≥ 0 ) {\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\quad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}\quad (n\geq 0)}

と定めれば数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} と { b n } {\displaystyle \{b_{n}\}} は同じ値に収束する。その極限を a ,   b {\displaystyle a,\ b} の算術幾何平均と呼ぶ。ただし、幾何平均 b n {\displaystyle b_{n}} の根号の符号は算術平均 a n {\displaystyle a_{n}} の側にあるものを選ぶものとする。

M ( a , b ) = lim n → ∞ a n = lim n → ∞ b n {\displaystyle M(a,b)=\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}}

ℜ ( b / a ) > 0 {\displaystyle \Re (b/a)>0} の場合、算術幾何平均は次式の楕円積分で表される。

M ( a , b ) = π 2 / ∫ 0 π / 2 d θ a 2 cos 2 ⁡ θ + b 2 sin 2 ⁡ θ {\displaystyle M(a,b)={\frac {\pi }{2}}{\bigg /}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta }}}}

ℜ ( b / a ) = 0 {\displaystyle \Re (b/a)=0} の場合は、次式になる。

M ( a , b ) = π 2 / ∫ 0 π / 2 d θ ( a + b 2 ) 2 cos 2 ⁡ θ + a b sin 2 ⁡ θ = π 2 / ∫ 0 π / 2 d θ ( a + b 2 ) 2 − ( a − b 2 ) 2 sin 2 ⁡ θ = π 2 / ∫ 0 π / 2 d θ ( a + b 2 ) 1 − ( a − b a + b ) 2 sin 2 ⁡ θ {\displaystyle {\begin{aligned}M(a,b)&={\frac {\pi }{2}}{\bigg /}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}\cos ^{2}\theta +ab\sin ^{2}\theta }}}\\&={\frac {\pi }{2}}{\bigg /}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {a-b}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta }}}\\&={\frac {\pi }{2}}{\bigg /}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\left({\frac {a+b}{2}}\right){\sqrt {1-\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta }}}}\\\end{aligned}}}