等角写像（とうかくしゃぞう、英: conformal transformation）とは、2次元以上のユークリッド空間からユークリッド空間への写像であって、任意の点の近傍の微小な2つの線分が、その成す角を保存するように写像されるものをいう。いいかえれば、座標変換の関数行列が回転行列のスカラー倍となるものである。すなわち、平面上の一つの図形を他の図形に変換（写像）したとき、図形上の二曲線の交角はその写像によっても等しく保たれるような写像を等角写像と呼ぶ。

一見すると、原形から大きく図形が変わったように見えても、対応する微小部分に注目すると、原形の図形と相似になっているのが、等角写像である。等角写像は、複素関数論と深い関係があり、工学上、流体の挙動の記述などにおいて非常に有用である[1]。
複素関数の等角写像

複素平面 z から複素平面 w への写像である関数 w = f(z) について、正則関数は等角写像である。逆命題も成り立つ[2]。

関数 f によって点 z0 とその近傍にある2点 z1, z2 が点 w0 とその近傍にある2点 w1, w2 に写像されるとき、f が正則ならば lim z 1 → z 0 w 1 − w 0 z 1 − z 0 = lim z 2 → z 0 w 2 − w 0 z 2 − z 0 = f ′ ( z 0 ) . . . ( 1 ) {\displaystyle \lim _{z_{1}\to z_{0}}{\frac {w_{1}-w_{0}}{z_{1}-z_{0}}}=\lim _{z_{2}\to z_{0}}{\frac {w_{2}-w_{0}}{z_{2}-z_{0}}}=f'(z_{0})...(1)}

ここで z 0 = 。 z 0 。 exp ⁡ ( i arg ⁡ ( z 0 ) ) {\displaystyle z_{0}=|z_{0}|\exp(i\arg(z_{0}))\,\!} のように展開して整理すれば lim 。 w 1 − w 0 。 。 w 2 − w 0 。 e i arg ⁡ ( w 1 − w 2 ) = lim 。 z 1 − z 0 。 。 z 2 − z 0 。 e i arg ⁡ ( z 1 − z 2 ) {\displaystyle \lim {\frac {|w_{1}-w_{0}|}{|w_{2}-w_{0}|}}e^{i\arg(w_{1}-w_{2})}=\lim {\frac {|z_{1}-z_{0}|}{|z_{2}-z_{0}|}}e^{i\arg(z_{1}-z_{2})}}

この式の偏角をとれば lim arg ⁡ ( w 1 − w 2 ) = lim arg ⁡ ( z 1 − z 2 ) {\displaystyle \lim \arg(w_{1}-w_{2})=\lim \arg(z_{1}-z_{2})}

すなわち、全ての正則関数による写像は微小な角を保存する。また、(1) の絶対値は 。 d w d z 。 = 。 f ′ ( z ) 。 {\displaystyle \left|{\frac {dw}{dz}}\right|=|f'(z)|}

であり、これは微小線分の拡大率がその方向によらないことを示している。
地図投影法の等角写像

地図投影法のうち等角写像であるものが正角図法と呼ばれる。
球面の場合

球面からの投影法は通常は球座標から地図上の座標への写像 m : ( φ , λ ) → ( x , y ) {\displaystyle m:(\varphi ,\lambda )\to (x,y)} として記述される。この場合は関数行列の代わりに ( ∂ x ∂ φ 1 cos ⁡ φ ∂ x ∂ λ ∂ y ∂ φ 1 cos ⁡ φ ∂ y ∂ λ ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}&{\frac {1}{\cos \varphi }}{\frac {\partial x}{\partial \lambda }}\\{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}&{\frac {1}{\cos \varphi }}{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}\\\end{pmatrix}}}

が回転行列のスカラー倍となるものが等角写像である。

冒頭の定義との関係では、球面に任意の点で接する接平面に直交座標系 ( ξ , η ) {\displaystyle (\xi ,\eta )\,\!} をとれば、等角性を判断するための写像は f : ( ξ , η ) → ( x , y ) {\displaystyle f:(\xi ,\eta )\to (x,y)} であり、これは g : ( ξ , η ) → ( φ , λ ) {\displaystyle g:(\xi ,\eta )\to (\varphi ,\lambda )} と m {\displaystyle m\,\!} の合成であるから J f = J m J g = ( ∂ x ∂ λ ∂ x ∂ φ ∂ y ∂ λ ∂ y ∂ φ ) ( ∂ λ ∂ ξ ∂ λ ∂ η ∂ φ ∂ ξ ∂ φ ∂ η ) = ( ∂ x ∂ λ ∂ x ∂ φ ∂ y ∂ λ ∂ y ∂ φ ) ( 1 a cos ⁡ φ 0 0 1 a ) {\displaystyle J_{f}=J_{m}J_{g}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial x}{\partial \lambda }}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \lambda }{\partial \xi }}&{\frac {\partial \lambda }{\partial \eta }}\\{\frac {\partial \varphi }{\partial \xi }}&{\frac {\partial \varphi }{\partial \eta }}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial x}{\partial \lambda }}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{a\cos \varphi }}&0\\0&{\frac {1}{a}}\\\end{pmatrix}}}