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数学における等差数列（とうさすうれつ）または算術数列（さんじゅつすうれつ、（英: arithmetic progression, arithmetic sequence）とは、隣接する各項の差が等しい数列である。隣接する項の差を公差（こうさ、（英: common difference）という。
例えば、5, 7, 9, … は初項 5, 公差 2 の等差数列である。同様に、1, 7, 13, … は公差 6 の等差数列である。
等差数列の初項を a0 とし、その公差を d とすれば、第n 項 an は a n = a 0 + n d {\displaystyle a_{n}=a_{0}+nd}
であり、一般に a n = a m + ( n − m ) d {\displaystyle a_{n}=a_{m}+(n-m)d}
と書ける。
等差数列の和は算術級数 (arithmetic series) という。等差数列の無限和（無限算術級数）は発散級数である。 2+5+8+11+14=40 和 2 + 5 + 8 + 11 + 14 の計算。もとの数列を逆順にした数列を用意して、もとの数列と項ごとに加えると、得られる数列は同じ1つの値を繰り返す（その値はもとの数列の初項と末項の和）。ゆえに、2 + 14 = 16, 16 × 5 = 80 が求める和の2倍に等しい。「無限算術級数」も参照 有限の[注釈 1]等差数列の和を算術級数と言う。公差 d の等差数列の第 n 項まで a0, a1, …, an の総和は、 S n = ∑ k = 0 n a k = a 0 + a 1 + ⋯ + a n = ( n + 1 ) a 0 + a n 2 = ( n + 1 ) 2 a 0 + n d 2 {\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}a_{k}\\&=a_{0}+a_{1}+\dotsb +a_{n}\\&=(n+1){\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}\\&=(n+1){\frac {2a_{0}+nd}{2}}\end{aligned}}} と表される。この種の式は、フィボナッチの『算盤の書』（"Liber Abaci"; 1202年, ch. II.12）に登場する[注釈 2]。GIF動画: 自然数の和 1 + 2 + … + n を求める公式の導出 算術級数の公式は、算術級数 Sn の各項を初項 a0 で書き換えたものと、末尾の項 an で書き換えたもの和から 2Sn を求めることで得られる： S n = a 0 + ( a 0 + d ) + ( a 0 + 2 d ) + ⋯ + ( a 0 + n d ) + S n = a n + ( a n − d ) + ( a n − 2 d ) + ⋯ + ( a n − n d ) 2 S n = ( a 0 + a n ) + ( a 0 + d + a n − d ) + ( a 0 + 2 d + a n − 2 d ) + ⋯ + ( a 0 + n d + a n − n d ) {\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=\color {red}a_{0}\color {green}+(a_{0}+d)\color {blue}+(a_{0}+2d)\color {black}+\dotsb \color {magenta}+(a_{0}+nd)\\[5pt]{}+S_{n}&=\color {red}a_{n}\color {green}+(a_{n}-d)\color {blue}+(a_{n}-2d)\color {black}+\dotsb \color {magenta}+(a_{n}-nd)\\\hline 2S_{n}&=\color {red}(a_{0}+a_{n})\color {green}+(a_{0}{\bcancel {{}+d}}+a_{n}{\bcancel {{}-d}})\color {blue}+(a_{0}{\bcancel {{}+2d}}+a_{n}{\bcancel {{}-2d}})\color {black}+\dotsb \color {magenta}+(a_{0}{\bcancel {{}+nd}}+a_{n}{\bcancel {{}-nd}})\end{aligned}}}
総和
14+11+8+5+2=40
16+16+16+16+16=80
