第2種ベータ分布確率密度関数
累積分布関数
母数 α > 0 {\displaystyle \alpha >0} 形状母数 (実数)
β > 0 {\displaystyle \beta >0} 形状母数 (実数)
台 x ∈ ( 0 , ∞ ) {\displaystyle x\in (0,\infty )\!}
確率密度関数 f ( x ) = x α − 1 ( 1 + x ) − α − β B ( α , β ) {\displaystyle f(x)={\frac {x^{\alpha -1}(1+x)^{-\alpha -\beta }}{B(\alpha ,\beta )}}\!}
累積分布関数 I x 1 + x ( α , β ) {\displaystyle I_{{\frac {x}{1+x}}(\alpha ,\beta )}}
I x ( α , β ) {\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )} は正則化された不完全ベータ関数
期待値 α β − 1 if β > 1 {\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta -1}}{\text{ if }}\beta >1}
最頻値 α − 1 β + 1 if α ≥ 1 , 0 otherwise {\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\beta +1}}{\text{ if }}\alpha \geq 1{\text{, 0 otherwise}}\!}
分散 α ( α + β − 1 ) ( β − 2 ) ( β − 1 ) 2 if β > 2 {\displaystyle {\frac {\alpha (\alpha +\beta -1)}{(\beta -2)(\beta -1)^{2}}}{\text{ if }}\beta >2}
歪度 2 ( 2 α + β − 1 ) β − 3 β − 2 α ( α + β − 1 ) if β > 3 {\displaystyle {\frac {2(2\alpha +\beta -1)}{\beta -3}}{\sqrt {\frac {\beta -2}{\alpha (\alpha +\beta -1)}}}{\text{ if }}\beta >3}
モーメント母関数 e − t Γ ( α + β ) Γ ( β ) G 1 , 2 2 , 0 ( α + β β , 0 。 − t ) {\displaystyle {\frac {e^{-t}\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\beta )}}G_{1,2}^{\,2,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha +\beta \\\beta ,0\end{matrix}}\;\right|\,-t\right)}
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第2種ベータ分布（だい2しゅベータぶんぷ、英: beta prime distribution, beta distribution of the second kind）は、連続確率分布であり、確率変数 X が第1種ベータ分布に従うとき、.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}X/1 − X の従う分布のこと。その確率密度関数は以下で定義される。 f ( x ; α , β ) = 1 B ( α , β ) x α − 1 ( 1 + x ) α + β {\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}{\frac {x^{\alpha -1}}{(1+x)^{\alpha +\beta }}}} p > 0 が実数の形状パラメータ、q > 0 が実数のスケールパラメータの時、下記の確率密度関数を一般化第2種ベータ分布（英: generalized beta prime distribution）という。 f ( x ; α , β , p , q ) = p ( x q ) α p − 1 ( 1 + ( x q ) p ) − α − β q B ( α , β ) {\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,p,q)={\frac {p\left({\frac {x}{q}}\right)^{\alpha p-1}\left(1+\left({\frac {x}{q}}\right)^{p}\right)^{-\alpha -\beta }}{qB(\alpha ,\beta )}}} ただし、表中にあるモーメント母関数の中のGで表される関数は「MeijerのG関数」というものである。(=>[一般超幾何関数：特殊関数グラフィックスライブラリー Special Functions (math-functions-1.watson.jp)])
一般化第2種ベータ分布
参考文献
蓑谷千凰彦、統計分布ハンドブック、朝倉書店 (2003).
B. S. Everitt（清水良一訳）、統計科学辞典、朝倉書店 (2002).
関連項目
確率分布
ベータ分布
ベータ関数
不完全ベータ関数
表
話
編
