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立方数（りっぽうすう、（英: cubic number）とは、図形数の一種であり、正[注釈 1]の整数の3乗となる数である[1]（例：8 = 23 = 2 × 2 × 2）。図形的には1辺の長さが n の正六面体（立方体）の体積が立方数 n3 = n × n × n に対応する。

最小の立方数は 1 であり、小さい順に列記すると 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, … である（オンライン整数列大辞典の数列 A578）。
立方数の性質

1を除く全ての立方数は、連続する2つの平方数の差として表される。 n 3 = ∑ k = 1 n k 3 − ∑ k = 1 n − 1 k 3 = { n ( n + 1 ) 2 } 2 − { ( n − 1 ) n 2 } 2 n ≧ 2 {\displaystyle n^{3}=\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}k^{3}-\sum \limits _{k=1}^{n-1}k^{3}=\left\{{\dfrac {n(n+1)}{2}}\right\}^{2}-\left\{{\dfrac {(n-1)n}{2}}\right\}^{2}\quad n\geqq 2}

立方数の列の第2階差数列は公差 6 の等差数列であり、第3階差数列は定数列 6である。したがって立方数の列は3階等差数列である。

フィボナッチ数列に現れる立方数は、1 と 8 のみといわれている。

立方数を2つの立方数の和として表すことはできない。詳細は「フェルマーの最終定理」を参照

立方数のうち平方数でもある数は n6 と表せる。また、約数を7個持つ数は全て素数を6乗した数である。
立方数の和

1 から n 番目の立方数 n3 までの和は n 番目の三角数の2乗に等しい[注釈 2]： ∑ k = 1 n k 3 = n 2 ( n + 1 ) 2 4 = { n ( n + 1 ) 2 } 2 = ( ∑ k = 1 n k ) 2 {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}k^{3}={\dfrac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}=\left\{{\dfrac {n(n+1)}{2}}\right\}^{2}=\left(\sum \limits _{k=1}^{n}k\right)^{2}}

具体的には 1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025, 3025, … である（オンライン整数列大辞典の数列 A000537）


立方数の逆数和は次の値に収束する： ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 = 2 π 2 7 log ⁡ 2 + 16 7 ∫ 0 π 2 x log ⁡ sin ⁡ x d x {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\dfrac {1}{n^{3}}}={\dfrac {2\pi ^{2}}{7}}\log 2+{\dfrac {16}{7}}\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}x\log \sin x\,dx}