空集合の公理 (くうしゅうごうのこうり、英: axiom of empty set) は、ツェルメロ＝フレンケル集合論やKP集合論の公理の一つで、「いかなる要素も含まない集合が存在する」ことを主張するものである。ただし、この公理を採用しないZF公理系の定式化も存在する[1]。
定義

「ある集合 x が存在して、任意の y に対し、y は x の要素でない。」すなわち、 ∃ x ∀ y ¬ ( y ∈ x ) {\displaystyle \exists x\,\forall y\,\lnot (y\in x)}
性質

外延性の公理により、公理で主張される集合は一意に存在することがわかる。その集合を「空集合」と呼び、通常は { } や ? の記号で表わす。空集合を表す定数記号を予め用意してZFを記述することもある。その場合、無限公理に現れる ? は単に何らかの集合を表す記号であり、空集合の公理によってはじめてそれが空であることが保証される。

この公理の主張自体は明白なものと考えられているが、一階述語論理と置換公理から導くことが可能なため[2]、公理には加えないこともある。
脚注・出典[脚注の使い方]^ ケネス・キューネン『集合論 独立性証明への案内』藤田博司訳、日本評論社、2008年、ISBN 978-4-535-78382-9
^ ⇒Metamath Proof Explorer, Theorem axnul

参考文献

Jech, Thomas (2002), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics (3rd millennium ed.), Springer, .mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:#d33}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:#d33}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#3a3;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}ISBN 3-540-44085-2 

表

話

編

歴
集合論
基本

集合

元

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内包と外延

クラス

ベン図

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非交和


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性質

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対称関係

非対称関係

反対称関係

完全関係

同値関係

同値類

well-defined


整礎関係

逆関係

関係の合成

写像

定義域

終域

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全単射

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像と逆像

恒等写像

制限

包含写像

合成

射影

商写像

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