積分方程式（せきぶんほうていしき、Integral equation）は、数学において、未知の関数が積分の中に現れるような方程式である[1][2][3][4][5][6]。積分方程式と微分方程式には密接な関係があり、そのどちらでも問題を定式化することができる場合もある[1][2]。

積分方程式は次の3種類の分類方法がある[1][2][3]。この分類によれば、8種類の積分方程式が存在する。
積分の上限および下限が固定の場合、フレドホルム積分方程式と呼ばれる。また、積分の上限・下限の片方が変数の場合、ヴォルテラ積分方程式と呼ばれる[7][8]。

未知の関数が積分の中にのみ現れる場合、第一種積分方程式と呼ばれ[3]、未知の関数が積分の中にも外にも現れる場合、第二種積分方程式と呼ばれる[3]。

既知の関数 f （下記参照）が恒等的に 0 の場合、同次積分方程式と呼ばれ、f が 0 でない場合、非同次積分方程式と呼ばれる。

4種類の積分方程式（同次・非同次方程式をまとめた）の例として以下のように書ける。ただし ϕ {\displaystyle \phi } は未知の関数、f は既知の関数、K は既知の2変数関数で積分核と呼ばれる。λ は未知の係数で、線型代数学における固有値と同じ役割をする。
第一種フレドホルム積分方程式：
f ( x ) = ∫ a b K ( x , t ) ϕ ( t ) d t {\displaystyle f(x)=\int _{a}^{b}K(x,t)\,\phi (t)\,dt}
第二種フレドホルム積分方程式：
ϕ ( x ) = f ( x ) + λ ∫ a b K ( x , t ) ϕ ( t ) d t {\displaystyle \phi (x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)\,\phi (t)\,dt}
第一種ヴォルテラ積分方程式：
f ( x ) = ∫ a x K ( x , t ) ϕ ( t ) d t {\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}K(x,t)\,\phi (t)\,dt}
第二種ヴォルテラ積分方程式：
ϕ ( x ) = f ( x ) + λ ∫ a x K ( x , t ) ϕ ( t ) d t {\displaystyle \phi (x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{x}K(x,t)\,\phi (t)\,dt}

積分方程式は多くの応用において重要である[1][2][3][4][5][6]。積分方程式に出会う問題としては、弦や膜、棒における放射エネルギー変換や振動などが挙げられる。振動問題は微分方程式によって解かれることもある。目次

1 固有値問題の一般化としての積分方程式

2 出典

3 参考文献

3.1 和書

3.2 洋書

3.2.1 非線型積分方程式

3.2.2 線型積分方程式

3.2.3 積分方程式に対する数値解析



4 関連項目

固有値問題の一般化としての積分方程式

ある種の斉次線型積分方程式は、固有値問題の連続極限とみなすことができる。固有値問題は、 M {\displaystyle \mathbf {M} } を行列、 v {\displaystyle \mathbf {v} } を固有ベクトル、 λ {\displaystyle \lambda } を対応する固有値として、 ∑ j M i , j v j = λ v i {\displaystyle \sum _{j}M_{i,j}v_{j}=\lambda v_{i}^{}}

と書くことができる。

添字 i {\displaystyle i} 、 j {\displaystyle j} を連続変数 x {\displaystyle x} 、 y {\displaystyle y} で置き換えて連続極限を取ると、 j {\displaystyle j} に関する総和は y {\displaystyle y} に関する積分、行列 M i , j {\displaystyle M_{i,j}} とベクトル v j {\displaystyle v_{j}} はそれぞれ積分核 K ( x , y ) {\displaystyle K(x,y)} と固有関数 φ ( y ) {\displaystyle \varphi (y)} に置き換えられて、線型斉次第二種フレドホルム積分方程式 ∫ d y K ( x , y ) φ ( y ) = λ φ ( x ) {\displaystyle \int \mathrm {d} y\,K(x,y)\varphi (y)=\lambda \varphi (x)}

が得られる。

一般に、 K ( x , y ) {\displaystyle K(x,y)} は超関数であってもよい。超関数 K {\displaystyle K} が x = y {\displaystyle x=y} でのみ台 (support) を持つ場合は、微分方程式の固有値問題に帰着される。
出典

[脚注の使い方]
^ a b c d Weisstein, Eric W. "Integral Equation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. ⇒http://mathworld.wolfram.com/IntegralEquation.html
^ a b c d Integral equation. Encyclopedia of Mathematics. URL: ⇒http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Integral_equation&oldid=30324
^ a b c d e Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: en:Academic Press, 1985.
^ a b Mikhlin, S. G. Integral Equations and Their Applications to Certain Problems in Mechanics, Mathematical Physics and Technology, 2nd rev. ed. New York: Macmillan, 1964.
^ a b Porter, D. and Stirling, D. S. G. Integral Equations: A Practical Treatment, from Spectral Theory to Applications. Cambridge, England: en:Cambridge University Press, 1990.
^ a b Corduneanu, C. Integral Equations and Applications. Cambridge, England: en:Cambridge University Press, 1991.
^ Burton, T. A. (2005). Volterra integral and differential equations. Elsevier.
^ Gripenberg, G., Londen, S. O., & Staffans, O. (1990). Volterra integral and functional equations. en:Cambridge University Press.

参考文献