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出典検索?: "稠密集合" ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2010年2月）

数学の位相空間論周辺分野において、位相空間 X の部分集合 A が X において稠密（ちゅうみつ、英: dense）であるとは、X の各点 x が、A の元であるか、さもなくば A の集積点であるときにいう[1]。イメージで言えば、X の各点が A の中か、さもなくば A の元の「どれほどでも近く」にあるということを表している。例えば、有理数は実数の稠密集合である。なぜなら任意の実数は、有理数であるか、さもなくばどれほどでも近い有理数をとることができるからである（ディオファントス近似も参照）。
厳密な定義

位相空間 X の部分集合 A が X において稠密であるとは、X の各元 x に対し、x の任意の近傍が A の元を少なくとも一つ含むことをいう。同じことだが、A が X において稠密であるのは、A を含む X の閉集合が X 自身しかないときであり、かつそのときに限る。これは A の閉包 A が X に一致すると言ってもよい。あるいは、A の補集合の内部が空であるともいえる。

位相空間 X の稠密度 (density) とは、X の稠密部分集合の最小濃度をいう。
距離空間における稠密性

距離空間の稠密集合には、別な定義の仕方もある。X の位相が距離によって誘導されるものであるとき、X の部分集合 A の閉包 A は A および A 内の極限点全体の成す集合との和 A ¯ = A ∪ {   lim n a n ;   a n ∈ A     ∀   n ≥ 0   } {\displaystyle {\overline {A}}=A\cup \{\ \lim _{n}a_{n};\ a_{n}\in A\ \ \forall \ n\geq 0\ \}}

で与えられる。このとき、A が X において稠密であるとは A = X を満たすことをいう。ここで、 A ⊂ {   lim n a n ;   a n ∈ A     ∀   n ≥ 0   } {\displaystyle A\subset \{\ \lim _{n}a_{n};\ a_{n}\in A\ \ \forall \ n\geq 0\ \}}

であることに注意。

{Un} を完備距離空間 X の稠密開集合列とすると、 ⋂ n = 1 ∞ U n {\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }U_{n}}

もまた X において稠密である。この事実は、ベールの範疇定理の同値な表現の一つである。
例

実数全体の成す集合に通常の位相を入れた?は、有理数全体の成す集合?を可算稠密部分集合としてもつ。このことから、位相空間の稠密部分集合の濃度はもとの空間自体の濃度よりも真に小さくなりうる。同じく無理数の全体も別な稠密部分集合を成すから、位相空間はいくつか異なる、また互いに素な稠密部分集合を持ちうる。

ワイエルシュトラスの近似定理によれば、閉区間 [a, b] 上の任意の複素数値連続函数は適当な多項式函数によって一様に近似することができる。これを言い換えれば、[a, b] 上の多項式函数全体の成す集合は、複素数値連続函数全体の成す集合 C([a, b]; ?) の部分集合として稠密である（位相は上限ノルムの誘導する位相）。

任意の距離空間はその完備化の中で稠密である。
性質

任意の位相空間は自身の部分集合として稠密である。集合 X に離散位相を入れたものは、全体集合 X がその唯一の稠密部分集合となる。集合 X に密着位相を入れたものは、空でない全ての部分集合が稠密になり、逆に空でない任意の部分集合が稠密となるような位相空間は密着空間でなければならない。

稠密性は推移的である。すなわち、位相空間 X の部分集合 A, B, C (A ⊆ B ⊆ C) で、A が B の、B が C のそれぞれ（相対位相に関する）稠密部分集合であるならば、A は C において稠密になる。

稠密部分集合の全射な連続写像による像はふたたび（写像の終域における）稠密部分集合となる。特に、位相空間の稠密度は位相不変量（topological invariant）である。