移入次元 - 暇つぶしWikipedia

移入次元

数学において、入射加群（にゅうしゃかぐん、英: injective module）、あるいは移入加群（いにゅうかぐん）とは、関手 Hom(–, E) が完全となるような加群 E のことである。ホモロジー代数における基本的な概念のひとつ。
動機

一般の加群 Q に対して反変関手 Hom(–, Q) は左完全である。つまり任意の短完全列 0 → N → M → K → 0 {\displaystyle 0\to N\to M\to K\to 0}

に対して 0 → Hom ⁡ ( K , Q ) → Hom ⁡ ( M , Q ) → Hom ⁡ ( N , Q ) {\displaystyle 0\to \operatorname {Hom} (K,Q)\to \operatorname {Hom} (M,Q)\to \operatorname {Hom} (N,Q)}

は完全である。この関手 Hom(–, E) が完全となる、つまり 0 → Hom ⁡ ( K , Q ) → Hom ⁡ ( M , Q ) → Hom ⁡ ( N , Q ) → 0 {\displaystyle 0\to \operatorname {Hom} (K,Q)\to \operatorname {Hom} (M,Q)\to \operatorname {Hom} (N,Q)\to 0}

が完全となる加群 Q のことを移入加群と呼ぶ。
移入加群の特徴づけ

R を単位元をもつ環とし、以下では加群はすべて左 R 加群、射はすべて左 R 加群の準同型を指すことにする。加群 Q が移入加群であることは次のいずれの条件とも同値である。

関手 Hom(–, Q) が完全である、つまり任意の短完全列 0 → N → M → K → 0 に対して 0 → Hom(K, Q) → Hom(M, Q) → Hom(N, Q) → 0 も短完全列である

任意の単射 N → M に対して Hom(M, Q) → Hom(N, Q) は全射である

任意の加群 M と正の整数 n に対して Extn(M, Q) = 0

任意の巡回加群 C に対して Ext1(C, Q) = 0

任意の単射 f : X → Y と射 g : X → Q に対して h f = g となる射 h : Y → Q が存在する

任意の単射準同型 f : Q → M は分裂単射

任意の短完全列 0 → Q → M → K → 0 は分裂する

 自己移入環

環 R が自身の上の左加群として移入的であるとき、左自己移入環と呼ぶ。右自己移入環も同様。
性質

Qi はすべて移入加群 ⇔ ∏Qi は移入加群

 Baerの判定法

左 R-加群 Q が移入加群であるための必要十分条件は、R の任意の左イデアル L と任意の準同型 L→Q に対して、その拡張 R→Q が存在することである。
移入分解と移入次元

加群 M に対し、各 Q i {\displaystyle Q_{i}} が移入加群であるような次の完全列 0 → M → Q 0 → Q 1 → ⋯ → Q n → Q n + 1 → ⋯ {\displaystyle 0\to M\to Q_{0}\to Q_{1}\to \cdots \to Q_{n}\to Q_{n+1}\to \cdots }

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