数学において、入射加群（にゅうしゃかぐん、英: injective module）、あるいは移入加群（いにゅうかぐん）とは、関手 Hom(–, E) が完全となるような加群 E のことである。 ホモロジー代数における基本的な概念のひとつ。
動機

一般の加群 Q に対して反変関手 Hom(–, Q) は左完全である。つまり任意の短完全列 0 → N → M → K → 0 {\displaystyle 0\to N\to M\to K\to 0}

に対して 0 → Hom ⁡ ( K , Q ) → Hom ⁡ ( M , Q ) → Hom ⁡ ( N , Q ) {\displaystyle 0\to \operatorname {Hom} (K,Q)\to \operatorname {Hom} (M,Q)\to \operatorname {Hom} (N,Q)}

は完全である。この関手 Hom(–, E) が完全となる、つまり 0 → Hom ⁡ ( K , Q ) → Hom ⁡ ( M , Q ) → Hom ⁡ ( N , Q ) → 0 {\displaystyle 0\to \operatorname {Hom} (K,Q)\to \operatorname {Hom} (M,Q)\to \operatorname {Hom} (N,Q)\to 0}

が完全となる加群 Q のことを移入加群と呼ぶ。
移入加群の特徴づけ

R を単位元をもつ環とし、以下では加群はすべて左 R 加群、射はすべて左 R 加群の準同型を指すことにする。加群 Q が移入加群であることは次のいずれの条件とも同値である。

関手 Hom(–, Q) が完全である、つまり任意の短完全列 0 → N → M → K → 0 に対して 0 → Hom(K, Q) → Hom(M, Q) → Hom(N, Q) → 0 も短完全列である

任意の単射 N → M に対して Hom(M, Q) → Hom(N, Q) は全射である

任意の加群 M と正の整数 n に対して Extn(M, Q) = 0

任意の巡回加群 C に対して Ext1(C, Q) = 0

任意の単射 f : X → Y と射 g : X → Q に対して h f = g となる射 h : Y → Q が存在する


任意の単射準同型 f : Q → M は分裂単射

任意の短完全列 0 → Q → M → K → 0 は分裂する

自己移入環

環 R が自身の上の左加群として移入的であるとき、左自己移入環と呼ぶ。右自己移入環も同様。
性質

Qi はすべて移入加群 ⇔ ∏Qi は移入加群

Baerの判定法

左 R-加群 Q が移入加群であるための必要十分条件は、R の任意の左イデアル L と任意の準同型 L→Q に対して、その拡張 R→Q が存在することである。
移入分解と移入次元

加群 M に対し、各 Q i {\displaystyle Q_{i}} が移入加群であるような次の完全列 0 → M → Q 0 → Q 1 → ⋯ → Q n → Q n + 1 → ⋯ {\displaystyle 0\to M\to Q_{0}\to Q_{1}\to \cdots \to Q_{n}\to Q_{n+1}\to \cdots }

を M の移入分解という。任意の加群は移入分解をもつ。すべての i > n に対し Qi = 0 であるような移入分解を長さ n の移入分解という。そのような n が存在する場合その最小値を M の移入次元といい、存在しない場合は移入次元は ∞ という。ただし、{0} の移入次元は ?1 とする。移入次元は id(M) と書かれる。R-加群 M と整数 n ≥ 0 に対して以下は同値。

id(M) ≤ n.

任意の R-加群 X に対して、 Ext R n + 1 ⁡ ( X , M ) = { 0 } . {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n+1}(X,M)=\{0\}.}

任意の i ≥ n+1 と任意の R-加群 X に対して、 Ext R i ⁡ ( X , M ) = { 0 } . {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(X,M)=\{0\}.}

参考文献.mw-parser-output .ambox{border:1px solid #a2a9b1;border-left:10px solid #36c;background-color:#fbfbfb;box-sizing:border-box}.mw-parser-output .ambox+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+link+.ambox{margin-top:-1px}html body.mediawiki .mw-parser-output .ambox.mbox-small-left{margin:4px 1em 4px 0;overflow:hidden;width:238px;border-collapse:collapse;font-size:88%;line-height:1.25em}.mw-parser-output .ambox-speedy{border-left:10px solid #b32424;background-color:#fee7e6}.mw-parser-output .ambox-delete{border-left:10px solid #b32424}.mw-parser-output .ambox-content{border-left:10px solid #f28500}.mw-parser-output .ambox-style{border-left:10px solid #fc3}.mw-parser-output .ambox-move{border-left:10px solid #9932cc}.mw-parser-output .ambox-protection{border-left:10px solid #a2a9b1}.mw-parser-output .ambox .mbox-text{border:none;padding:0.25em 0.5em;width:100%;font-size:90%}.mw-parser-output .ambox .mbox-image{border:none;padding:2px 0 2px 0.5em;text-align:center}.mw-parser-output .ambox .mbox-imageright{border:none;padding:2px 0.5em 2px 0;text-align:center}.mw-parser-output .ambox .mbox-empty-cell{border:none;padding:0;width:1px}.mw-parser-output .ambox .mbox-image-div{width:52px}html.client-js body.skin-minerva .mw-parser-output .mbox-text-span{margin-left:23px!important}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .ambox{margin:0 10%}}

出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。（2016年1月）


岩永, 恭雄、佐藤, 眞久、佐藤眞久『 ⇒環と加群のホモロジー代数的理論』（第1版）日本評論社、2002年。.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:#d33}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:#d33}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#3a3;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}ISBN 4-535-78367-5。 

Lam, Tsit-Yuen (1999). Lectures on modules and rings. Graduate Texts in Mathematics No. 189. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98428-5. MR1653294 

関連項目

Ext群

射影加群

移入包絡

可除群
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