確率論



コルモゴロフの公理



確率空間

標本空間

根元事象

事象

確率変数

確率測度



排反

同時分布

周辺分布

条件付き確率



独立

条件付き独立

全確率の法則

大数の法則

ベイズの定理

ブールの不等式



ベン図

樹形図

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表

話

編

歴

確率論（かくりつろん、英: probability theory, 仏: theorie des probabilites, 独: Wahrscheinlichkeitstheorie）は、偶然現象に対して数学的な模型（モデル）を与え、解析する数学の一分野である。

もともとサイコロ賭博といった賭博の研究として始まった[1]。現在でも保険や投資などの分野で基礎論として使われる。

なお、確率の計算を問題とする分野を指して「確率論」と呼ぶ用例もあるが、本稿では取り扱わない。
歴史詳細は「確率の歴史」を参照
古典的確率論「確率の古典的な定義」も参照

確率論は16世紀から17世紀にかけてカルダーノ、パスカル、フェルマー、ホイヘンス等によって数学の一分野としての端緒が開かれた。イタリアのカルダーノは賭博師でもあり、1560年代に『さいころあそびについて』（羅: Liber de ludo aleae）を執筆して初めて系統的に確率論を論じた。その書は彼の死後の1663年に出版された[2]。18世紀から19世紀にかけて、ラプラスはそれまでの確率論を統合する研究を行い、1814年2月に『確率の哲学的試論』を著し、古典的確率論と呼ばれる理論にまとめた[3]。
公理的確率論「確率の公理」も参照

現代数学の確率論は、アンドレイ・コルモゴロフの『確率論の基礎概念』（1933年）[4]に始まる公理的確率論である。この確率論では「確率」が直接的に何を意味しているのかという問題は取り扱わず、「確率」が満たすべき最低限の性質をいくつか規定し、その性質から導くことのできる定理を突き詰めていく学問である。この確率論の基礎には集合論・測度論・ルベーグ積分があり、確率論を学ぶためにはこれらの知識が要求される。公理的確率論の必要性に関しては確率空間の項を参照。

現在、確率論は解析学の一分野として分類されている。特にルベーグ積分論や関数解析学とは密接なつながりがある。確率変数が可算型や連続型の場合でも、公理的確率により解析的に記述できるようになる。また、確率論は統計学を記述する際の言語や道具としても重要である。
基礎概念の概略

確率論で使われるいくつかの重要な概念を簡単に解説する。詳しい内容は各項目のページを参照。
標本空間
起こりうる結果全体の集合。確率論においては、空集合でない。Ω と書く。Ω の元 ω それぞれには起こりやすさの割合が備わっていることを仮定する。
事象 (event)
標本空間の部分集合のうち確率をもつものを事象と呼ぶ。全ての事象を集めた集合族 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} は完全加法族になっている必要がある。それ以外に、 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} はできるだけ細分化されている必要がある。これ以上分解できない事象を根元事象または単純事象 (elementary event / simple event) 、複数の根元事象の和集合を複合事象 (compound event) という。つまり、 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} は、根元事象から生成される最小の完全加法族となっている。
確率空間
標本空間 Ω と事象の全体 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} と確率測度 P の組を確率空間と呼ぶ。確率の問題を確率論的に定式化するということは、この確率空間を定めることである。しかし、通常はその問題にはどのような確率変数が存在するかということを調査し、必要となる確率変数をすべて含むことができるぐらい巨大な Ω を定める。