この項目では、マルコフ連鎖の遷移行列について説明しています。一般的な確率変数を要素とする行列については「ランダム行列」をご覧ください。

数学における確率行列（かくりつぎょうれつ、英: stochastic matrix）とは、マルコフ連鎖の遷移確率を表す正方行列である。全ての成分が、確率を表す非負実数となっている[1][2]:9-11。文脈によって遷移行列（英: transition matrix）、置換行列（英: substitution matrix）、マルコフ行列（英: Markov matrix）と呼ばれることもある。また 英: probabilistic matrix と呼ばれることもある[2]:9-11。

確率行列は20世紀初頭にアンドレイ・マルコフによって初めて導入され、確率論、統計学、数理ファイナンス、線形代数学、計算機科学、集団遺伝学といった様々な分野で活用されてきた[2]:1-8。

確率行列には、いくつかの異なる定義・形式がある[2]:9-11 ：右確率行列（英: right stochastic matrix）とは、任意の行の和が1となる非負実数成分の正方行列である。左確率行列（英: left stochastic matrix）とは、任意の列の和が1となる非負実数成分の正方行列である。二重確率行列（英: doubly stochastic matrix）とは、任意の行、任意の列の和が1となる非負実数成分の正方行列である。

同様にして、確率ベクトル（英語版）（英: stochastic vector, probability vector） を、全ての成分が非負の実数で和が1となるベクトルと定義できる。右確率行列の全ての行（左確率行列の全ての列）は確率ベクトルである[2]:9-11。

数学の文献での慣習に従い、本項では行ベクトルが確率ベクトルとなる右確率行列について述べる[2]:1-8。
歴史アンドレイ・マルコフ（1886年）

確率行列は、ロシア人数学者でサンクトペテルブルク大学教授であったアンドレイ・マルコフによってマルコフ連鎖とともに考案された。出版物への初めての記載は1906年である[2]:1-8 [3]。マルコフは当初、これらを言語分析やカードシャッフル等の数学的題材に用いるつもりだったが、たちまち他の分野でも有用であることが分かってきた[2]:1-8 [3][4]。

確率行列はアンドレイ・コルモゴロフ等の学者によってさらなる研究がなされ、連続時間マルコフ過程にも適用できるよう拡張が行われた[5]。1950年代までに、計量経済学[6]や回路網解析[7]といった分野にも確率行列を用いた論文が現れた。1960年代には行動科学[8]から地質学[9][10]、居住地計画[11]まで、さらに広範な科学領域で確率行列が用いられるようになった。同時に、この期間には確率行列やマルコフ過程の応用範囲や有用性を押し広げるような数学的研究もより一般的に行われた。

1970年代から現在にかけて、確率行列は建築構造設計[12]から医療診断[13]、人事労務管理[14]まで、形式的な分析を必要とするほとんどあらゆる分野で用いられるようになってきた。土地利用変化モデリング（英語版）（land change modeling、この分野では「マルコフ行列」と呼ばれることが多い）においても広範に応用されている[15]。
定義と性質

確率行列は、要素が有限個の状態空間 S （濃度 S {\displaystyle S} ）上のマルコフ連鎖 X t {\displaystyle {\boldsymbol {X}}_{t}} を記述する。

1ステップで状態 i {\displaystyle i} から状態 j {\displaystyle j} へ遷移する確率が P r ( j ∣ i ) = P i , j {\displaystyle Pr(j\mid i)=P_{i,j}} であるとき、確率行列 P {\displaystyle P} は i {\displaystyle i} 行・ j {\displaystyle j} 列成分を P i , j {\displaystyle P_{i,j}} とする行列で与えられる。例えば、 P = [ P 1 , 1 P 1 , 2 … P 1 , j … P 1 , S P 2 , 1 P 2 , 2 … P 2 , j … P 2 , S ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ P i , 1 P i , 2 … P i , j … P i , S ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ P S , 1 P S , 2 … P S , j … P S , S ] {\displaystyle P=\left[{\begin{matrix}P_{1,1}&P_{1,2}&\dots &P_{1,j}&\dots &P_{1,S}\\P_{2,1}&P_{2,2}&\dots &P_{2,j}&\dots &P_{2,S}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\P_{i,1}&P_{i,2}&\dots &P_{i,j}&\dots &P_{i,S}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\P_{S,1}&P_{S,2}&\dots &P_{S,j}&\dots &P_{S,S}\\\end{matrix}}\right]}