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波動関数（はどうかんすう、英: wave function）は、量子力学において純粋状態を表す複素数値関数。量子論における状態については量子状態を参照。
定義

ここでは量子状態を表す状態ベクトルから波動関数を定義する。ただし状態ベクトルと波動関数は等価であるため（後述）、扱う問題に応じて状態ベクトルと波動関数による表現を行き来することができる。

あるオブザーバブルを表すエルミート演算子 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} を考え、その固有値 a n {\displaystyle a_{n}} が離散的であるとする。エルミート演算子 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} の性質として、全ての固有ベクトルの集合 { 。 a n ⟩ } {\displaystyle \{|a_{n}\rangle \}} は完全系をなすため、任意の状態ベクトル 。 ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } は { 。 a n ⟩ } {\displaystyle \{|a_{n}\rangle \}} の線形結合（重ね合わせ）として表すことができる。 。 ψ ⟩ = ∑ n ψ ( a n ) 。 a n ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{n}\psi (a_{n})|a_{n}\rangle }

上記の展開係数 ψ ( a n ) {\displaystyle \psi (a_{n})} を「基底 { 。 a n ⟩ } {\displaystyle \{|a_{n}\rangle \}} 表示での波動関数」と呼ぶ。

またエルミート演算子の固有ベクトルは互いに直交する（ように選べる）。 { 。 a n ⟩ } {\displaystyle \{|a_{n}\rangle \}} が正規直交基底をなすとすると、この式と 。 a n ⟩ {\displaystyle |a_{n}\rangle } との内積をとることで 。 a n ⟩ {\displaystyle |a_{n}\rangle } にかかる展開係数が得られる。 ⟨ a n 。 ψ ⟩ = ψ ( a n ) {\displaystyle \langle a_{n}|\psi \rangle =\psi (a_{n})}

このように基底を一つに決めると、状態ベクトルと波動関数は片方が分かればもう片方を求めることができ、一対一対応の関係になっている。したがって波動関数は、その変数が決まっているときには状態ベクトルと等価である。このため波動関数は量子状態を表す関数として用いることができる。

一般的に量子状態は複素ヒルベルト空間上のベクトルで表されるため、波動関数は一般的に複素数関数である。
位置表示

基底として位置を表す演算子 x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} の固有ベクトル、つまり位置が定まった状態の全体 { 。 x ⟩ } {\displaystyle \{|x\rangle \}} を選んだ場合、任意の状態を { 。 x ⟩ } {\displaystyle \{|x\rangle \}} の重ね合わせで表現できる。この基底に対する係数 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} を座標表示での波動関数、あるいはシュレーディンガーの波動関数などと呼ぶ。通常、位置は連続的な値を取るため、状態ベクトルの展開は形式的に積分形で表される： 。 ψ ⟩ = ∫ ψ ( x ) 。 x ⟩ d x {\displaystyle |\psi \rangle =\int \psi (x)|x\rangle dx}

波動関数 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} を定めれば 。 ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } は一意的に決まるので、 。 ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } の代わりに ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} を用いても状態を表すことができる。
運動量表示

基底として運動量を表す演算子 p ^ {\displaystyle {\hat {p}}} の固有ベクトル、つまり運動量が定まった状態の全体 { 。 p ⟩ } {\displaystyle \{|p\rangle \}} を選んだ場合、 ψ ( p ) {\displaystyle \psi (p)} を運動量表示での波動関数と呼ぶ。 。 ψ ⟩ = ∫ ψ ( p ) 。 p ⟩ d p {\displaystyle |\psi \rangle =\int \psi (p)|p\rangle dp}

ここでは関数のラベルとして位置表示と同じ文字 ψ {\displaystyle \psi } を用いたが、その関数形は全く異なることに注意。
確率振幅

ボルンの規則によると、ある状態 。 ψ ⟩   {\displaystyle |\psi \rangle \ } における物理量（オブザーバブル） A   {\displaystyle A\ } の測定（理想測定）をしたとき、その測定値の確率分布は次のように、物理量 A {\displaystyle A} による表示をした波動関数 ψ ( a ) = ⟨ a 。 ψ ⟩ {\displaystyle \psi (a)=\langle a|\psi \rangle } の絶対値の二乗となる。このように (絶対値) 二乗が確率を与えるものを確率振幅と呼ぶ。 P ( a ) = ⟨ ψ 。 a ⟩ ⟨ a 。 ψ ⟩ = 。 ψ ( a ) 。 2   {\displaystyle P(a)=\langle \psi |a\rangle \langle a|\psi \rangle =|\psi (a)|^{2}\ }

例えば、ある状態 。 ψ ⟩   {\displaystyle |\psi \rangle \ } における運動量 p   {\displaystyle p\ } の測定を数多くしたとき、測定値が「運動量を表すエルミート演算子 p ^   {\displaystyle {\hat {p}}\ } の固有値の一つ p 1   {\displaystyle p_{1}\ } 」である頻度は P ( p 1 ) = 。 ψ ( p 1 ) 。 2   {\displaystyle P(p_{1})=|\psi (p_{1})|^{2}\ }

に収束する。

他にも、波動関数 Ψ ( x , t ) {\displaystyle \left.\Psi (x,t)\right.} の絶対値二乗は、位置の測定を行った場合の測定値の確率分布を与える。より正確には、位置 x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} の固有値が離散的である場合、「状態 。 Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } において時刻 t   {\displaystyle t\ } で位置 x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} の理想測定をしたとき、測定値のバラつきを表す確率分布が P ( x , t ) = 。 Ψ ( x , t ) 。 2   {\displaystyle P(x,t)=|\Psi (x,t)|^{2}\ } である」。