幾何平均（きかへいきん、英: geometric mean）または相乗平均とは数学における広義の平均の一つである。多くの人が平均と聞いて思い浮かべる算術平均と似ているが、値の総和を n個で割るのでなく、値の総乗の n乗根を取る点が異なる。

相乗平均の対数は、値の対数の算術平均に等しくなる。

p一般化平均（p は実数）（一般化平均については平均#一般化平均 2を参照）で p → 0 のときの極限は相乗平均に等しくなる。
定義と例

数の集合またはデータ a 1 , a 2 , ⋯ , a n {\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}} の幾何平均は次の式で定義される： ( ∏ i = 1 n a i ) 1 n = a 1 a 2 ⋯ a n A n {\displaystyle \left(\textstyle \prod \limits _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\dotsb a_{n}{\vphantom {A}}}}}

例えば、2, 8 の幾何平均は 2 × 8 = 4 {\displaystyle {\sqrt {2\times 8}}=4} となる。3数 4, 1, .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/32 の幾何平均は 4 × 1 × 1 32 3 = 1 2 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{4\times 1\times {\frac {1}{32}}}}={\frac {1}{2}}} となる。

幾何平均は幾何学的に説明することもできる。2数 a, b の幾何平均は、縦横の長さが a, b の長方形と同じ面積の正方形の1辺の長さに等しい。同様に 3数 a, b, c の幾何平均は、それらで張られる直方体と同じ体積の立方体の1辺の長さに等しい。

幾何平均は正の数のみしか扱えない[1]。互いにかけ合わせることが多い値や指数関数的性質のある値に使うことが多く、例えば人口の成長に関するデータや財政投資の利率などに使われる。
性質

幾何平均は「ピタゴラス平均 (en)」と呼ばれる3つの古典的な平均の一つでもある（他は算術平均と調和平均）。異なる値を含む正の数からなる集合またはデータにおいて、調和平均、幾何平均、算術平均の順に小さくなる。

算術平均と幾何平均を混合した算術幾何平均というものがあり、常に算術平均と幾何平均の中間の値となる。2つの数列 (an), (hn) を、連立漸化式 a n + 1 = a n + h n 2 , a 0 = x {\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+h_{n}}{2}},\quad a_{0}=x} h n + 1 = 2 1 a n + 1 h n , h 0 = y {\displaystyle h_{n+1}={\frac {2}{{\frac {1}{a_{n}}}+{\frac {1}{h_{n}}}}},\quad h_{0}=y}

で定義するとき、幾何平均は算術調和平均となり、an, hn はいずれも x, y の幾何平均に収束する。

これは2つの数列が同じ極限に収束するという事実（ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理）と幾何平均が常に同じという事実から容易に分かる。 a i h i = a i + h i ( a i + h i ) / h i a i = a i + h i 1 / a i + 1 / h i = a i + 1 h i + 1 {\displaystyle {\sqrt {a_{i}h_{i}}}={\sqrt {\frac {a_{i}+h_{i}}{(a_{i}+h_{i})/h_{i}a_{i}}}}={\sqrt {\frac {a_{i}+h_{i}}{1/a_{i}+1/h_{i}}}}={\sqrt {a_{i+1}h_{i+1}}}}
対数の算術平均との関係

対数の性質を使って式を変形させると、乗算を加算で表すことができ、べき乗を乗算で表せる。 ( ∏ i = 1 n a i ) 1 n = exp ⁡ [ 1 n ∑ i = 1 n ln ⁡ a i ] {\displaystyle \left(\textstyle \prod \limits _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}=\exp \left[{\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\ln a_{i}\right]}

これを log-average（対数平均、logarithmic mean と混同しないこと）とも呼ぶ。数の集合またはデータの値 a i {\displaystyle a_{i}} を対数に変換して算術平均を求め、指数関数を適用して元の数値の幾何平均を得る。これはすなわち、f(x) = log x とした一般化平均に他ならない。例えば、2, 8 の幾何平均は次のように計算できる。 b ( log b ⁡ ( 2 ) + log b ⁡ ( 8 ) ) / 2 = 4 {\displaystyle b^{\left(\log _{b}(2)+\log _{b}(8)\right)/2}=4}

ここで b は対数の底であり、どんな値でもよい（通常は 2, e, 10 のいずれかを使う）。
算術平均と平均保存的拡散との関係

それぞれ異なる値の数値群に平均保存的拡散[2]を施したとき、幾何平均は常に小さくなる[3]。
一定間隔での計算

何らかの量の平均成長率を求めるのに幾何平均を使う場合、初期値 a 0 {\displaystyle a_{0}} と最新の値 a n {\displaystyle a_{n}} が既知であれば、途中の値を使わずに最新の成長率の幾何平均を次の式で求められる。 ( a n a 0 ) 1 n {\displaystyle \left({\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)^{\frac {1}{n}}}

ここで n {\displaystyle n} は初期値から最新状態までのステップ数である。

集合またはデータを a 0 , ⋯ , a n {\displaystyle a_{0},\cdots ,a_{n}} とし、 a k {\displaystyle a_{k}} と a k + 1 {\displaystyle a_{k+1}} の間の成長率を a k + 1 a k {\displaystyle {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}} とする。