直角二等辺三角形（ちょっかくにとうへんさんかくけい、英: isosceles right triangle）は、二等辺三角形の持つ特徴に加え、直角三角形の持つ特徴を併せ持つ図形である。3つの角のうち2つの角がそれぞれ45°である三角形と定義してもよい。
直角二等辺三角形は二等辺三角形の一つでもあり、直角三角形の一つでもある。等しい長さの2辺で構成される1角(頂角)が直角である。
斜辺どうしが重なり合うように二つの直角二等辺三角形を並べると正方形ができる。逆に正方形を対角線で2つに分けるといずれも直角二等辺三角形となっている。
直角二等辺三角形は線対称な図形であり、対称軸は頂角の点から対辺（斜辺）に下ろした垂線である。頂角は直角なので、垂線によって二等分された角は、45°となる。このことから、この対称軸で直角二等辺三角形を二等分すると、その結果の二つの図形も直角二等辺三角形となることがわかる。したがって、この垂線の長さは、斜辺の長さの 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} となる。
ピタゴラスの定理より、隣辺の1辺の長さと斜辺の長さの比は、 1 : 2 {\displaystyle 1:{\sqrt {2}}} となることがわかる。隣辺の1辺の長さを x {\displaystyle {x}} とした場合、 x 2 2 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{2}}} で面積を求めることができる。また、斜辺の長さのみが分かっている場合でも、斜辺の長さを y {\displaystyle {y}} とし、 y 2 4 {\displaystyle {\frac {y^{2}}{4}}} で面積を求めることができる。したがって、直角二等辺三角形の場合、任意の1辺の長さが分かれば、面積を求めることができる。
また、底角は45°であるので、t = 45°として三角比に当てはめた場合、 sin t = cos t {\displaystyle \sin t=\cos t\,}
である。これはt = 45°の時、単位円上の動点のX座標とY座標が等しくなることからも分かる。また、このことから、 tan t = 1 {\displaystyle \tan t=1\,}
である。
一般的に用いられる三角定規2枚セットのうち1枚は直角二等辺三角形である。
直角二等辺三角形を利用した正三角形の作図直角二等辺三角形を利用した正三角形の作図
互いに合同な直角二等辺三角形を複数配置することで正三角形の作図が可能である。辺の長さが1,1, 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} の直角二等辺三角形を用いて一辺の長さが2となる正三角形を作図できる。底辺の長さが 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} で高さが１の直角三角形の斜辺の長さが 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} となることを応用する。
関連項目
三角形
二等辺三角形
直角三角形
三角定規
表
話
編
歴
多角形
非古典的 (2辺以下)
一角形
二角形
辺の数: 3?10
三角形
正三角形
二等辺三角形
黄金三角形
不等辺三角形
直角三角形
直角二等辺三角形
ケプラー三角形
鋭角三角形
鈍角三角形
四角形
正方形
長方形
黄金長方形
菱形
平行四辺形
凧形
直角凧形
台形
等脚台形
直角台形
円に外接する台形
双心四角形
円に内接する四角形
円に外接する四角形（英語版）
等対角線四角形（英語版）
直交対角線四角形
傍心四辺形（英語版）
凹四角形
五角形
正五角形
五等辺五角形（英語版）
円に内接する五角形
ロビンスの五角形（英語版）
円に外接する五角形
直角五角形
五等角五角形
凹五角形
六角形
正六角形
円に内接する六角形
円に外接する六角形
ルモワーヌの六角形（英語版）
七角形
八角形
九角形
十角形
辺の数: 11?20
十一角形
十二角形
十三角形
十四角形
十五角形
十六角形
十七角形
十八角形
十九角形
二十角形
辺の数: 21?30
二十一角形
二十二角形
二十三角形
二十四角形
二十五角形
二十六角形
二十七角形
二十八角形
二十九角形
三十角形
辺の数: 31?40
三十一角形
三十二角形
三十三角形
三十四角形
三十五角形
三十六角形
三十七角形
三十八角形
三十九角形
四十角形
辺の数: 41?50
四十一角形
四十二角形
四十三角形
四十四角形
四十五角形
四十六角形
四十七角形
四十八角形
四十九角形
五十角形
辺の数: 51?70
（selected）
五十一角形
五十二角形
