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.mw-parser-output .side-box{margin:4px 0;box-sizing:border-box;border:1px solid #aaa;font-size:88%;line-height:1.25em;background-color:#f9f9f9;display:flow-root}.mw-parser-output .side-box-abovebelow,.mw-parser-output .side-box-text{padding:0.25em 0.9em}.mw-parser-output .side-box-image{padding:2px 0 2px 0.9em;text-align:center}.mw-parser-output .side-box-imageright{padding:2px 0.9em 2px 0;text-align:center}@media(min-width:500px){.mw-parser-output .side-box-flex{display:flex;align-items:center}.mw-parser-output .side-box-text{flex:1}}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .side-box{width:238px}.mw-parser-output .side-box-right{clear:right;float:right;margin-left:1em}.mw-parser-output .side-box-left{margin-right:1em}}この項目には、JIS X 0213:2004 で規定されている文字（ハートマーク、クイーンマーク、スペードマーク、クローバーマーク）が含まれています（詳細）。A = {x, y, z} と B = {1, 2, 3} との直積の図示
数学において、集合のデカルト積（デカルトせき、英: Cartesian product）または直積（ちょくせき、英: direct product）、直積集合、または単に積（せき、英: product）、積集合は、集合の集まり（集合族）に対して各集合から一つずつ元をとりだして組にしたもの（元の族）を元として持つ新たな集合である。
具体的に二つの集合 A, B に対し、それらの直積とはそれらの任意の元 a ∈ A, b ∈ B の順序対 (a, b) 全てからなる集合をいう[1]。集合の組立記法（英語版） では A × B = { ( a , b ) ∣ a ∈ A ∧ b ∈ B } {\displaystyle A\times B=\{(a,b)\mid a\in A\land b\in B\}}
と書くことができる。有限個の集合の直積 A1×?×An も同様の n-組からなる集合として定義されるが、二つの集合の直積を入れ子 (nested) にして、(A1 × ? × An−1)× An と帰納的に定めることもできる。 順序対 (a, b) は、たとえ a, b (a ≠ b) がともに A にも B にも属していたとしても、一般には (a, b) ≠ (b, a) である[1]。ゆえに、集合としても、A = B または少なくともいずれか一方が空集合でない限り A × B ≠ B × A {\displaystyle A\times B\neq B\times A} また厳密に言えば、直積は結合的でもない。すなわち、A, B, C を集合とするとき、 ( A × B ) × C , A × ( B × C ) , A × B × C {\displaystyle (A\times B)\times C,\quad A\times (B\times C),\quad A\times B\times C} はすべて集合として異なる。しかし誤解の虞が無いならば、しばしばこれらの間の自然 (canonical) な全単射 ( ( a , b ) , c ) ← ↦ ( a , ( b , c ) ) ← ↦ ( a , b , c ) {\displaystyle ((a,b),c)\gets \!\mapsto (a,(b,c))\gets \!\mapsto (a,b,c)} によって全て同一視（成分の並びを変えずに括弧だけを外）される。この同一視のもとで、直積は結合的二項演算を定める。その意味で n-項直積 A1 × ? × An は二つの集合の直積をとることの繰り返し A 1 × ⋯ × A n := ( A 1 × ⋯ × A n − 1 ) × A n {\displaystyle A_{1}\times \cdots \times A_{n}:=(A_{1}\times \cdots \times A_{n-1})\times A_{n}} と定義することは可能である。 直積は添字集合 I を伴う集合族 {Ai : i ∈ I} に対して定められるから、∏n 直積集合の視覚的にわかりやすい例としては、標準的な52枚一組のトランプのデッキがある。トランプのランクは {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} という 13 の元からなる集合である。スーツは {?, ?, ?, ?} という 4 の元からなる集合である。この2つの集合の直積集合は、52 の組の元からなる集合であり、それぞれの元は、52枚のトランプのカードと1対1に対応している。 たとえば、ランク × スーツ という直積集合は、 {(A, ?), (A, ?), (A, ?), (A, ?), (K, ?), ..., (3, ?), (2, ?), (2, ?), (2, ?), (2, ?)} という集合であり、スーツ × ランク という直積集合は、 {(?, A), (?, K), (?, Q), (?, J), (?, 10), ..., (?, 6), (?, 5), (?, 4), (?, 3), (?, 2)} という集合である。 直積集合の元は順序対なので、同じ元はひとつも含まれていない。 有名な歴史的な例としては、解析幾何学における直交座標系がある。ルネ・デカルトは、数を用いて幾何学的な図形を表現したり、図形から数の情報を得たりするために、平面のそれぞれの点に実数の組を対応させ、その点の座標と名付けた。ふつう、このような組の1番目および2番目の要素は、それぞれ x および y 座標と呼ばれる。したがって、実数の組のすべての集合、すなわち ?×?（? は実数）という直積集合は、平面上のすべての点の集合に対応する。
注意
交換法則と結合法則
記法について
i=1 Ai や ∏
i∈I Ai あるいは A1 × ? × An のように添字の動く範囲を明示するのが正確であるが、添字集合が明らかで誤解の虞のない場合にはしばしば省略した記法が用いられ、例えば ∏ Ai, ∏i Ai あるいは ⨉ Ai のように書かれる。特に A×?×A（同じ A の n 個のコピーの直積）は An, A×n, n?A などと書かれる。
直積集合の例
トランプのカード標準的なトランプの52枚のデッキ
2次元直交座標系点の直交座標の例
定義
有限直積
n 個の集合 A1, …, An に対する直積集合を、 ∏ i = 1 n A i = A 1 × A 2 × ⋯ × A n := { ( a 1 , … , a n ) ∣ a 1 ∈ A 1 ∧ … ∧ a n ∈ A n } {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\times A_{2}\times \dotsb \times A_{n}:=\{(a_{1},\dots ,a_{n})\mid a_{1}\in A_{1}\wedge \ldots \wedge a_{n}\in A_{n}\}} と定義する[2]。ここで (a1, …, an) は a1, …, an の順序付けられた n-組である。
任意濃度の直積
必ずしも有限でない集合 Λ で添字付けられる集合の族 {Aλ}λ∈Λ それらの直積は、写像の集合 { a : Λ → A ∣ a ( λ ) ∈ A λ , ∀ λ ∈ Λ } ⊂ Map ( Λ , A ) ( A := ⋃ λ ∈ Λ A λ ) {\displaystyle \{a\colon \Lambda \to \mathbf {A} \mid a(\lambda )\in A_{\lambda },\,\forall \lambda \in \Lambda \}\subset \operatorname {Map} (\Lambda ,\mathbf {A} )\quad (\mathbf {A} :=\bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda })} と定義される[2]。
