「直交変換」はこの項目へ転送されています。直流・交流変換については「インバータ」をご覧ください。

「直交配列」とは異なります。
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直交行列（ちょっこうぎょうれつ, 英: orthogonal matrix）とは、転置行列と逆行列が等しくなる正方行列のこと。つまり n×n の行列 M の転置行列を MT と表すときに、 MTM = M MT = E を満たすような M のこと。ただし、 E は n 次の単位行列であり、 E 自身も直交行列である。

有限次元実計量ベクトル空間の直交変換は、ある正規直交基底に関して実直交行列（成分が全て実数の直交行列）によって定まる線形変換である。ただし、直交変換とは（必ずしも有限次元でない）実計量ベクトル空間 V において内積を変えない（等長性をもつ）線形変換 f のことである。すなわち、v, w を V の任意のベクトルとするときに、(f(v), f(w)) = (v, w)が成り立つ。ただし、(•, •) は内積を表す。
定義

n 次正方行列 M の 転置行列 MT が Mの逆行列になっているとき、すなわち MT = M-1 を満たすとき、M は直交行列であるという。

直交行列は内積を保つ線型変換としても定義できる。実計量ベクトル空間 V の任意のベクトル v, w に対し、内積を (v, w) = vTw とする。v, w が行列 M により Mv, Mw に変換されたとき、内積は ( M v , M w ) = ( M v ) T M w = v T M T M w = v T w = ( v , w ) {\displaystyle (Mv,Mw)=(Mv)^{T}Mw=v^{T}M^{T}Mw=v^{T}w=(v,w)}

となるので、行列 M が直交行列であるのは計量ベクトル空間 V の内積を変えないとき、かつそのときに限る。

直交行列は正則行列であり、直交行列は積や逆について閉じている。n 次直交行列全体の集合を n 次直交群といい、O(n) と書く。行列式の値が1となる直交行列全体の集合を特殊直交群といい、SO(n) と書く。
例
回転行列

2次元ユークリッド空間において、原点を中心に角 θ の回転をあらわす2次直交行列は以下で表される。 ( cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}
置換行列

2次の正方行列において、1行目と2行目を置換させる置換行列は以下で表される。 ( 0 1 1 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}
反射行列

単位ベクトル u に直交する超平面についての鏡映を与える反射行列（ハウスホルダー行列）H は、以下の式で与えられ、直交行列となる（I は単位行列）。 H = I − 2 u u ⊤ {\displaystyle H=I-2uu^{\top }}
性質

直交行列の行列式の値は ±1 である[注 1]。実際、行列 A が直交行列なら行列式の性質から
det ( A ) 2 = det ( A ) det ( A ⊺ ) = det ( A A ⊺ ) = det ( E ) = 1 {\displaystyle \det(A)^{2}=\det(A)\det(A^{\intercal })=\det(AA^{\intercal })=\det(E)=1} となる。逆は必ずしも真ではない。

ユニタリ行列である。従って対角化可能である。

n 次行列 A を n 個の列ベクトル（行ベクトル） v 1 , v 2 , . . . , v n {\displaystyle v_{1},v_{2},...,v_{n}} を並べたものとみなしたとき、直交行列の定義 AAT=E は v 1 , v 2 , . . . , v n {\displaystyle v_{1},v_{2},...,v_{n}} が正規直交基底になる条件と同値である。

n 次の直交行列 A 、n 次の列ベクトル x が与えられた時、ノルムを ?•? で表せば、 ?Ax? = ?x? である。したがって A の対応する作用素ノルムは ? A ? = 1 である。

参考文献

齋藤正彦『線型代数入門』東京大学出版会〈基礎数学 1〉、1982年（原著1966年）。.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:#d33}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:#d33}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#3a3;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}ISBN 978-4-13-062001-7。 

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