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出典検索?: "等長写像"
数学、とくに幾何学において等長写像（とうちょうしゃぞう）または等距離写像（とうきょりしゃぞう）とは、"長さ" を変えない（距離を保つ、distance preserving）写像のことである。全単射であるものに限って等長写像 (isometry) という場合もある。 距離空間 (X, d) の任意の元を x, y とする（d は距離関数）。このとき、X から別の距離空間 ( X' , d' ) への写像 f が、 d ( x , y ) = d ′ ( f ( x ) , f ( y ) ) {\displaystyle d(x,y)=d'(f(x),f(y))} なる関係を満たすとき、写像 f は距離を保つ、あるいは f は等長写像であるという。定義から、等長写像が単射であることはすぐに分かる。 距離空間 X, Y の間に距離を保つ全単射 (isometry) が存在するとき、X と Y は距離空間として等長 (isometric) であるという。また、距離空間 X からそれ自身への距離を保つ全単射を X 上の等長変換という。X 上の等長変換の全体は群を成し、それを X の等長変換群とよぶ。 定義をノルム空間に適用すると、ベクトル空間 X におけるノルムを |。・ ||X で表すとき、写像 f: X → X' が等長写像であるための条件は||x - y||X = ||f(x) - f(y)||X' となる。特に f が線形写像ならばこれは ||x||X = ||f(x)||X' と同じである。 以下では X をノルム空間とする。X の部分集合 W に対して、f(W):= {f(x) 。x∈W} とする。X 内の二つの部分集合 C, C' に対し、等長写像 f が存在して f( C' ) = C が言えるとき、C と C' は合同であるという。また、aC:= {ax 。x∈C} としたとき、ある正数 k が存在して f( C' ) = kC がいえれば、C と C' は相似であるという。 X がさらに計量ベクトル空間であって、||x|。= <x, x>1/2 であり、f が線形変換ならば、f は内積を変えない。これは次のようにして分かる。X の元 x, y に対し、内積の実部に関して ℜ ⟨ f ( x ) , f ( y ) ⟩ {\displaystyle \Re \langle f(x),f(y)\rangle } = 1 2 ( 。 。 f ( x ) + f ( y ) 。 。 2 − 。 。 f ( x ) 。 。 2 − 。 。 f ( y ) 。 。 2 ) {\displaystyle ={\frac {1}{2}}(||f(x)+f(y)||^{2}-||f(x)||^{2}-||f(y)||^{2})} となる。虚部が等しいことは、x を -ix に置き換えると <-ix, y> の実部が <x, y> の虚部に等しいことから確かめられる。逆に内積を保てばもちろん等長写像になる。 X が実ベクトル空間であるとき、線形な等長変換として直交変換が対応する。これは直交行列 T を用いて Tx と書くことができる。複素ベクトル空間では同様な写像にユニタリ変換（およびその行列表現としてのユニタリ行列）が対応する。 一般に、実ベクトル空間内の等長写像は直交行列 T とあるベクトル a を用いて Tx + a と書くことができる（アフィン変換）。このうち、|T。= 1であるものを特にユークリッドの運動と呼ぶ。これは "回転"・"平行移動" の二つを合成してできるものである。上述の通り、等長写像はユークリッド空間の図形の間の合同をもたらすが、さらに一般に、リーマン多様体の間の等長写像（各点の微分が等長写像になるというように定義される。詳しい方の加筆を求む!）はその構造をすべて保存する。このような等長写像は運動と呼ばれ、運動の全体はある群をなす。
定義
計量
= 1 2 ( 。 。 x + y 。 。 2 − 。 。 x 。 。 2 − 。 。 y 。 。 2 ) {\displaystyle ={\frac {1}{2}}(||x+y||^{2}-||x||^{2}-||y||^{2})}
= ℜ ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle =\Re \langle x,y\rangle }
直交変換・ユニタリ変換
関連項目
等角写像
縮小写像
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