この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方）
出典検索?: "直交関数列" ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2015年6月）

数学において直交関数列（ちょっこうかんすうれつ、英: orthogonal functions）とは互いに直交する関数列の事である。
定義

区間 (α, β) (?∞ ≤ α < β ≤ ∞) 上で定義された複素数値関数 f(x), g(x) に対し ⟨ f , g ⟩ = ∫ α β f ( x ) g ∗ ( x ) d x {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{\alpha }^{\beta }f(x)g^{\ast }(x)\,dx}

は、積分が有限値として存在するならば、内積となる。

(α, β) 上の複素値関数の列 {φn(x)} が、この内積に対し、互いに直交し、 ⟨ ϕ m , ϕ n ⟩ = ∫ α β ϕ m ( x ) ϕ n ∗ ( x ) d x = 0 ( m ≠ n ) {\displaystyle \langle \phi _{m},\phi _{n}\rangle =\int _{\alpha }^{\beta }\phi _{m}(x)\phi _{n}^{\ast }(x)\,dx=0\quad (m\neq n)}

であるとき、直交関数列であるという。

特に直交関数列のうち、ノルムが 1、すなわち ‖ ϕ ‖ 2 = ∫ α β 。 ϕ n ( x ) 。 2 d x = 1 {\displaystyle \|\phi \|^{2}=\int _{\alpha }^{\beta }|\phi _{n}(x)|^{2}\,dx=1}

であるものものを正規直交関数列という。

また、実数値関数の列 {φn(x )} とある関数 w(x) ≥ 0 に対し、{(w(x))1/2φn(x)} が直交関数列をなし、 ∫ α β ϕ m ( x ) ϕ n ( x ) w ( x ) d x = 0 ( m ≠ n ) {\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }\phi _{m}(x)\phi _{n}(x)w(x)\,dx=0\quad (m\neq n)}

であるとき、この関数列を重み（荷重）w(x) の直交関数列という。
例
三角関数形
余弦関数系

1と余弦関数による列{1, cosx, cos2x, cos3x,…}は区間 [0, π] で直交関数系を成す。

∫ 0 π 1 d x = π {\displaystyle \int _{0}^{\pi }1\,dx=\pi }


∫ 0 π 1 ⋅ cos ⁡ n x d x = 0 ( n = 1 , 2 , … ) {\displaystyle \int _{0}^{\pi }1\cdot \cos {nx}\,dx=0\quad (n=1,2,\dots )}


∫ 0 π cos ⁡ m x ⋅ cos ⁡ n x d x = π 2 δ m n ( m , n = 1 , 2 , … ) {\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos {mx}\cdot \cos {nx}\,dx={\frac {\pi }{2}}\delta _{mn}\quad (m,n=1,2,\dots )}

正弦関数系

正弦関数による列 {sinx, sin2x, sin3x,…} は区間 [0, π] で直交関数系を成す。

∫ 0 π sin ⁡ m x ⋅ sin ⁡ n x d x = π 2 δ m n ( m , n = 1 , 2 , … ) {\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin {mx}\cdot \sin {nx}\,dx={\frac {\pi }{2}}\delta _{mn}\quad (m,n=1,2,\dots )}

三角関数系

{1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,…} は [-π, π] で直交関数系を成す。

∫ − π π 1 d x = 2 π {\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }1\,dx=2\pi }


∫ − π π cos ⁡ m x ⋅ cos ⁡ n x d x = ∫ − π π sin ⁡ m x ⋅ sin ⁡ n x d x = π δ m n ( m , n = 1 , 2 , … ) {\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos {mx}\cdot \cos {nx}\,dx=\int _{-\pi }^{\pi }\sin {mx}\cdot \sin {nx}\,dx=\pi \delta _{mn}\quad (m,n=1,2,\dots )}