ベクトル解析における発散（はっさん、英: divergence）は、ベクトル場の各点ごとの流入出（英語版）の評価を符号付きスカラー値で測るベクトル作用素である。より技術的に言えば、対象点を含む近傍領域を定義しそこに出入りする流束の総和と領域体積との比をとり、領域を無限小に近づけたときの極限である。

　身近な例えでは、温度変化のある空気の各点の移動速度ベクトル場をみる。一部の領域の空気を熱するとその膨張した空気は領域から全方向へ広がるから、領域の外側を向く速度場が生じる。このときの速度場の発散をとると、加熱された領域の内部で正値の分布であり、この領域は速度場全体にとっての流入（あるいは正の湧き出し、湧出、source）域である。逆に空気が冷やされ収縮するならば、冷却される領域の発散は負値となり、その領域は流出（負の湧き出し、あるいは沈み込み、排出、sink）域である。
定義

物理的な言葉で言えば、三次元ベクトル場の発散は、各点においてそのベクトル場が流入や流出のような流動的振舞いをする度合を与える。これは、空間の無限小領域において入ってくるよりも出ていく方がどのくらい多いのかの度合いとしての「外向き度」を局所的に測るものである。発散がその点で零でないならば、その位置は湧出点か排出点でなければならない[1]。（流れや流出のような言葉を使っているのは、ベクトル場を速度場や運動する流体のようなものと考えるからであることに注意）。

点 p におけるベクトル場 F の発散は、領域 Ω の滑らかな境界 bd(Ω) と交わる F の正味の流れを領域 Ω の体積 vol(Ω) で割ったものの、領域 Ω を一点 p に縮めるときの極限として定義される。これを式で書けば ( div ⁡ F ) p := lim Ω → { p } 1 vol ⁡ ( Ω ) ∮ bd ⁡ ( Ω ) ( F ⋅ n ) d S {\displaystyle (\operatorname {div} {\boldsymbol {F}})_{p}:=\lim _{\Omega \to \{p\}}{\frac {1}{\operatorname {vol} (\Omega )}}\oint _{\operatorname {bd} (\Omega )}({\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {n}})\,dS}

となる。積分は境界面に直交する外向きの単位法ベクトル場 n を伴う面積分である。各点において div F が得られて、これは点 p の函数である。定義から明らかなように、div F が F の流束の流出密度（発散密度）であることが分かる。

物理的な解釈から見れば、あらゆる点で発散がゼロとなるベクトル場は非圧縮性 (incompressible) あるいは管状 (solenoidal) であるといい、この場合任意の閉曲面に対してそれと交わる正味の流れは存在しない。

直感的に、全ての湧出量の和から全ての排出量の和を引けば領域から流れ出る正味の流れがわかるだろうと想像できる。これを精緻化したものが発散定理である。
具体的な表示
デカルト座標系での表示

x, y, z を三次元ユークリッド空間のデカルト座標系とし、対応する単位ベクトルからなる基底を i, j, k とする。

連続的微分可能なベクトル場 F = U i + V j + W k の発散はスカラー値の函数: div ⁡ F = ∇ ⋅ F = ∂ U ∂ x + ∂ V ∂ y + ∂ W ∂ z {\displaystyle \operatorname {div} {\boldsymbol {F}}=\nabla \cdot {\boldsymbol {F}}={\frac {\partial U}{\partial x}}+{\frac {\partial V}{\partial y}}+{\frac {\partial W}{\partial z}}}

に等しい。これは座標で表されているけれども、物理的解釈が示唆する通り、この式の値は任意の直交変換によって変わることはない。

しばしば用いられる発散の記法 “∇ ・ F” は、中黒を点乗積と見做して、∇ の成分（ナブラの項を参照）と F の成分との積和をとったものが上記の式になるという記憶術として使える。しかしもちろん、作用素の適用は成分同士の積とは異なるから、これは記号の濫用の一種である。

連続的微分可能二階テンソル場 ε の発散は、一階テンソル場 div ⁡ ( ε ) → = ( ∂ ε x x ∂ x + ∂ ε x y ∂ y + ∂ ε x z ∂ z ∂ ε y x ∂ x + ∂ ε y y ∂ y + ∂ ε y z ∂ z ∂ ε z x ∂ x + ∂ ε z y ∂ y + ∂ ε z z ∂ z ) {\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {div} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}}={\begin{pmatrix}{\dfrac {\partial \varepsilon _{xx}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial \varepsilon _{xy}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial \varepsilon _{xz}}{\partial z}}\\[5pt]{\dfrac {\partial \varepsilon _{yx}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial \varepsilon _{yy}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial \varepsilon _{yz}}{\partial z}}\\[5pt]{\dfrac {\partial \varepsilon _{zx}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial \varepsilon _{zy}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial \varepsilon _{zz}}{\partial z}}\end{pmatrix}}}

になる。
円柱座標系

a-方向の単位ベクトルを ea と書くことにして、円筒座標系で表されたベクトル F = e r F r + e z F z + e θ F θ {\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {e}}_{r}F_{r}+{\boldsymbol {e}}_{z}F_{z}+{\boldsymbol {e}}_{\theta }F_{\theta }}

に対し、その発散は、 div ⁡ F = ∇ ⋅ F = 1 r ∂ ∂ r ( r F r ) + 1 r ∂ F θ ∂ θ + ∂ F z ∂ z {\displaystyle \operatorname {div} {\boldsymbol {F}}=\nabla \cdot {\boldsymbol {F}}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(rF_{r})+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial F_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}}

と書ける[2]。
球座標系