プログラミングにおける畳み込みについては「重畳関数」をご覧ください。
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出典検索?: "畳み込み" ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2016年7月）
2つの正方形による畳み込み。解として得る波形は三角波となる。黄色の領域で示されている面積が2つの方形波の合成積である。正方形がRC回路に入力された場合の出力信号波形を得るために、RC回路のインパルス応答と方形波の畳み込みを行っている。 黄色の領域で示されている面積が合成積である。

畳み込み（たたみこみ、英: convolution）とは、関数 g を平行移動しながら関数 f に重ね足し合わせる二項演算である。あるいはコンボリューションとも呼ばれる。
定義
一次元
連続

連続関数 f, g の畳み込み f ? g は以下のように定義される： ( f ∗ g ) ( t ) = ∫ f ( τ ) g ( t − τ ) d τ {\displaystyle (f*g)(t)=\int f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau }

積分を用いて2つの関数を合わせることから畳み込み積分、合成積、重畳積分とも呼ばれる。

積分範囲は関数の定義域に依存する。通常は区間 (−∞, +∞) で定義される関数を扱うことが多いので、積分範囲は −∞ から +∞ で計算されることが多い。一方 f, g が有限区間でしか定義されない場合には、g(t − τ) が定義域内に入るように f, g を周期関数と見なして計算される。この周期関数と見なして畳み込みをすることを循環畳み込み（じゅんかんたたみこみ、英: cyclic convolution）と呼ぶ。
離散

離散信号 f, g の畳み込み f ? g は以下のように定義される： ( f ∗ g ) ( m ) = ∑ n f ( n ) g ( m − n ) {\displaystyle (f*g)(m)=\sum _{n}{f(n)\,g(m-n)}}

すなわち積分のかわりに総和を使って同様に定義される。そのため畳み込み和・重畳和とも呼ばれる。

総和の範囲も関数の定義域に依存し、関数が有限区間でしか定義されていない場合は周期関数とみなして畳み込み演算が行われる。また定義域外の値を 0 と定義し直した関数での畳み込みがよく行われる。これを線形畳み込み（せんけいたたみこみ、英: linear convolution）あるいは直線畳み込み（ちょくせんたたみこみ）と呼ぶ。
高次元

Rd 上の複素数値函数 fと g の畳み込みは、それ自身が Rd 上の複素数値函数として ( f ∗ g ) ( x ) = ∫ R d f ( y ) g ( x − y ) d y = ∫ R d f ( x − y ) g ( y ) d y {\displaystyle (f*g)(x)=\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(y)g(x-y)\,dy=\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x-y)g(y)\,dy}

で定義されるものであるが、右辺の積分が存在してこれが定義可能となるには、fと g が無限遠において十分急速に減少する（英語版）必要がある。とはいえ、たとえば g が無限遠において爆発するとしても、その影響は f が十分に急減少であれば容易に打ち消すことができるから、この積分の存在条件は込み入ったものも考え得る。この問題をクリアする函数の条件としてよく用いられる場合を以下に挙げる。
コンパクト台付き函数

函数 f と g がともにコンパクト台連続函数ならば、それらの畳み込みは存在して、やはりコンパクト台連続函数となる[1]。より一般に、一方がコンパクト台、他方が局所可積分函数ならば、畳み込み f ? g が定義されて連続である。

R 上では両者が局所自乗可積分の場合、あるいは両者がともに半無限区間 [a, +∞) (あるいはともに (-∞, a]) に台を持つ場合でも畳み込みが定まる。
可積分函数

函数 f と g がともにL1(Rd)に属するルベーグ可積分函数ならば、それらの畳み込み f ? g が存在してやはり可積分である[2]。これはトネリの定理の帰結である。このことは ?1 に属する数列の離散畳み込みや、より一般の群上の L1 の畳み込みでも成立する。

同様にして、 f ∈ L1(Rd) と g ∈ Lp(Rd) が 1 ? p ? ∞ のとき、 f ? g ∈ Lp(Rd) かつ ‖ f ∗ g ‖ p ≤ ‖ f ‖ 1 ‖ g ‖ p {\displaystyle \|{f}*g\|_{p}\leq \|f\|_{1}\|g\|_{p}}

を満たす。特に p = 1 のとき、これにより L1 は畳み込みを積としてバナッハ代数を成す(また、等号成立は f と g がともに殆ど至る所非負のときである。)

より一般に、畳み込みに対するヤングの不等式により、畳み込み積は適当な Lp-空間上の連続双線型演算となることが従う。具体的に書けば、 1 ? p,q,r ? ∞ が 1 p + 1 q = 1 r + 1 {\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1}

なる関係を満足するとして、 ‖ f ∗ g ‖ r ≤ ‖ f ‖ p ‖ g ‖ q ( f ∈ L p ( R d ) , g ∈ L q ( R d ) ) {\displaystyle \lVert f*g\rVert _{r}\leq \lVert f\rVert _{p}\,\lVert g\rVert _{q}\quad (f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{d}),\,g\in L^{q}(\mathbb {R} ^{d}))}

となるから、畳み込み積は Lp × Lq → Lr なる連続双線型写像を定めている。

畳み込みに対するヤングの不等式、循環畳み込みや離散畳み込みなどほかの文脈でも成立する。また、 R 上では先に掲げた不等式はより厳しく評価できる: 先と同様の関係を持つ 1 < p, q, r < ∞ に対し、定数 Bp,q < 1 が存在して ‖ f ∗ g ‖ r ≤ B p , q ‖ f ‖ p ‖ g ‖ q ( f ∈ L p ( R ) , g ∈ L q ( R ) ) . {\displaystyle \lVert f*g\rVert _{r}\leq B_{p,q}\lVert f\rVert _{p}\,\lVert g\rVert _{q}\quad (f\in L^{p}(\mathbb {R} ),\,g\in L^{q}(\mathbb {R} )).}

Bp,q の最適値は Beckner (1975) にある[3]。より強い評価として 1 < p, q, r < ∞ に対し ‖ f ∗ g ‖ r ≤ C p , q ‖ f ‖ p ‖ g ‖ q , w {\displaystyle \lVert f*g\rVert _{r}\leq C_{p,q}\lVert f\rVert _{p}\,\lVert g\rVert _{q,w}}

も得られる。ただし、 ‖ g ‖q,w は弱 Lp-ノルムである。 1 < p, q, r < ∞ に対し弱い版のヤング不等式 ‖ f ∗ g ‖ r , w ≤ C p , q ‖ f ‖ p , w ‖ g ‖ r , w {\displaystyle \|f*g\|_{r,w}\leq C_{p,q}\|f\|_{p,w}\|g\|_{r,w}}

を考えれば、畳み込みは連続双線型写像 L p , w ( R ) × L q , w ( R ) → L r , w ( R ) {\displaystyle L^{p,w}(\mathbb {R} )\times L^{q,w}(\mathbb {R} )\to L^{r,w}(\mathbb {R} )} とも見られる[4]。