「畳み込み」とは異なります。

数学において、畳み込み級数（たたみこみきゅうすう、英: telescoping series; 望遠鏡級数）は、各項からその近くの後続または先行する項と打ち消しあう部分をとりだして、次々に項が消えていくことで和が求まるような級数である。[1][2]。こうやって項を打ち消しあって和を求める方法は差分法 (method of differences) や和分法としても知られる。

たとえば、級数 ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}}

は、以下のように簡単になる： ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) = ∑ n = 1 ∞ ( 1 n − 1 n + 1 ) = ( 1 − 1 2 ) + ( 1 2 − 1 3 ) + ⋯ = 1 + ( − 1 2 + 1 2 ) + ( − 1 3 + 1 3 ) + ⋯ = 1. {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}&=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\&=\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots \\&=1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots =1.\end{aligned}}} 目次

1 注意点

2 込み入った例

3 確率論における応用

4 その他の応用

5 参考文献

注意点

差分法のテクニックは便利だが、落とし穴もある。 0 = ∑ n = 1 ∞ 0 = ∑ n = 1 ∞ ( 1 − 1 ) = 1 + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 + 1 ) = 1 {\displaystyle 0=\sum _{n=1}^{\infty }0=\sum _{n=1}^{\infty }(1-1)=1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1+1)=1}

とするのは正しくない、個々の項が 0 に収斂でもしない限り、項を括りなおすのは有効ではないからである（グランディ級数の項を見よ）。こういった間違いを避けるには、まず N 項までの和を求めておいてから、そのあと N を無限大に飛ばした極限を計算する。 ∑ n = 1 N 1 n ( n + 1 ) = ∑ n = 1 N ( 1 n − 1 n + 1 ) = ( 1 − 1 2 ) + ( 1 2 − 1 3 ) + ⋯ + ( 1 N − 1 N + 1 ) = 1 + ( − 1 2 + 1 2 ) + ( − 1 3 + 1 3 ) + ⋯ + ( − 1 N + 1 N ) − 1 N + 1 = 1 − 1 N + 1 → 1   a s   N → ∞ . {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n(n+1)}}&{}=\sum _{n=1}^{N}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\&{}=\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{N}}-{\frac {1}{N+1}}\right)\\&{}=1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{N}}+{\frac {1}{N}}\right)-{\frac {1}{N+1}}\\&{}=1-{\frac {1}{N+1}}\to 1\ \mathrm {as} \ N\to \infty .\end{aligned}}}

といった具合である。
込み入った例

多くの三角関数は、連続する項の間で畳み込みを起こさせる、階差としての表示をも持つ。たとえば ∑ n = 1 N sin ⁡ ( n ) = ∑ n = 1 N 1 2 csc ⁡ ( 1 2 ) ( 2 sin ⁡ ( 1 2 ) sin ⁡ ( n ) ) = 1 2 csc ⁡ ( 1 2 ) ∑ n = 1 N ( cos ⁡ ( 2 n − 1 2 ) − cos ⁡ ( 2 n + 1 2 ) ) = 1 2 csc ⁡ ( 1 2 ) ( cos ⁡ ( 1 2 ) − cos ⁡ ( 2 N + 1 2 ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\sin \left(n\right)&{}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)\sin \left(n\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\sum _{n=1}^{N}\left(\cos \left({\frac {2n-1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2n+1}{2}}\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(\cos \left({\frac {1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2N+1}{2}}\right)\right)\end{aligned}}} といったような具合である。