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球面波(きゅうめんは、英: spherical wave)とは、3次元の等方的な媒質中に存在する点波源から発生、もしくは一点に向かって収束する球状の波動のことである。同位相の波面は全て点波源を中心とする同心球面を形成するため、この波動は波源に関して球対称となる。3次元波動方程式の球対称解として記述される。 球面波を記述する式には次の2通りのものが存在する。 ψ ( r , t ) = f ( r ± v t ) r ⋯ ( 1 ) ψ ( r , t ) = 1 r F ( t ± r v ) ⋯ ( 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\psi (r,t)&={\frac {f(r\pm vt)}{r}}\qquad \cdots (1)\\\psi (r,t)&={\frac {1}{r}}F\left(t\pm {\frac {r}{v}}\right)\qquad \cdots (2)\end{aligned}}} ただしここでr は波源からの距離、t は時刻、v は位相速度(ただしv > 0)である。 上式は次のようにして導き出せる。 3次元の波動方程式は以下である: Δ ψ ≡ ∂ 2 ψ ∂ x 2 + ∂ 2 ψ ∂ y 2 + ∂ 2 ψ ∂ z 2 = 1 v 2 ∂ 2 ψ ∂ t 2 ⋯ ( 3 ) {\displaystyle \Delta \psi \equiv {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}\qquad \cdots (3)} ただしここでは波源を原点、すなわち ( x , y , z ) = ( 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle (x,y,z)=(0,0,0)} としている。まずこれを球座標に変換し、角度には依存しないことを考慮すると、次式になる(ラプラス作用素#三次元を参照)。 Δ ψ = 2 r ∂ ψ ∂ r + ∂ 2 ψ ∂ r 2 {\displaystyle \Delta \psi ={\frac {2}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}} (球座標への変換導出過程)次の関係が成り立つ。
球面波を表す式
導出