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球面座標系（きゅうめんざひょうけい、英語: spherical coordinate system）とは、3次元ユークリッド空間に定まる座標系の一つで、動径座標と二つの角度座標で表される極座標系である。第一の角度はある軸（通常は z-軸を選ぶ）と動径がなす角度で、第二の角度は、その軸に垂直な平面にある別の軸（通常は x-軸を選ぶ）とこの平面への動径の射影がなす角度である。通常は動径座標に記号 r を用い、第一の角度座標には θ を、第二の角度座標には φ を用いて表される。動径座標は 0 ≤ r < ∞ の範囲にあり、第一の角度は 0 ≤ θ ≤ π の範囲にある。第二の角度の動く範囲は −π < φ ≤ π もしくは 0 ≤ φ < 2π のどちらかを用いることが多い。 球面座標 (r,θ,φ) から直交直線座標 (x,y,z) への変換は { x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ {\displaystyle {\begin{cases}x=r\sin \theta \,\cos \phi \\y=r\sin \theta \,\sin \phi \\z=r\cos \theta \\\end{cases}}} で与えられる。第二の角度座標を −π < φ ≤ π とする場合は、直交直線座標 (x,y,z) から球面座標 (r,θ,φ) への変換は { r = x 2 + y 2 + z 2 θ = arccos ( z / x 2 + y 2 + z 2 ) ϕ = sgn ( y ) arccos ( x / x 2 + y 2 ) {\displaystyle {\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta =\arccos(z/{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}})\\\phi =\operatorname {sgn}(y)\arccos(x/{\sqrt {x^{2}+y^{2}}})\\\end{cases}}} で与えられる。ここで sgn は符号関数 sgn ( y ) = { 1 ( y > 0 ) 0 ( y = 0 ) − 1 ( y < 0 ) {\displaystyle \operatorname {sgn}(y)={\begin{cases}1&(y>0)\\0&(y=0)\\-1&(y<0)\\\end{cases}}} である。z-軸上 (x,y) = (0,0) において特異性があり、分母がゼロとなるため φ が定まらない。さらに原点 (x,y,z) = (0,0,0) においては θ も定まらない。 球面座標 (r,θ,φ) から直交直線座標 (x,y,z) への変換の式を微分すれば { d x = sin θ cos ϕ d r + r cos θ cos ϕ d θ − r sin θ sin ϕ d ϕ d y = sin θ sin ϕ d r + r cos θ sin ϕ d θ + r sin θ cos ϕ d ϕ d z = cos θ d r − r sin θ d θ {\displaystyle {\begin{cases}dx=\sin \theta \,\cos \phi \,dr+r\cos \theta \,\cos \phi \,d\theta -r\sin \theta \,\sin \phi \,d\phi \\dy=\sin \theta \,\sin \phi \,dr+r\cos \theta \,\sin \phi \,d\theta +r\sin \theta \,\cos \phi \,d\phi \\dz=\cos \theta \,dr-r\sin \theta \,d\theta \\\end{cases}}} が得られて、ヤコビ行列とヤコビ行列式は ∂ ( x , y , z ) ∂ ( r , θ , ϕ ) = ( sin θ cos ϕ r cos θ cos ϕ − r sin θ sin ϕ sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ cos θ − r sin θ 0 ) = ( cos ϕ − sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ 0 0 0 1 ) ( sin θ cos θ 0 0 0 1 cos θ − sin θ 0 ) ( 1 0 0 0 r 0 0 0 r sin θ ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\phi )}}&={\begin{pmatrix}\sin \theta \,\cos \phi &r\cos \theta \,\cos \phi &-r\sin \theta \,\sin \phi \\\sin \theta \,\sin \phi &r\cos \theta \,\sin \phi &r\sin \theta \,\cos \phi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\\\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\\\cos \theta &-\sin \theta &0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r&0\\0&0&r\sin \theta \\\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}
座標変換