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数学における無限算術級数（むげんさんじゅつきゅうすう、英: infinite arithmetic series）は、その項が算術数列を成す無限級数を言う。1 + 1 + 1 + 1 + ・ ・ ・ や 1 + 2 + 3 + 4 + ・ ・ ・ はその例であるが、無限算術級数の一般形は ∑ n = 0 ∞ ( a n + b ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(an+b)} と書ける。a = b = 0 のときは級数の和も 0 であるが、a, b のどちらかが非零ならば、級数は発散して通常の意味では和を持たない。
ゼータ正則化

正しい形 (the right form) での算術級数のゼータ正則化和は、対応するフルヴィッツゼータ函数の値として ∑ n = 0 ∞ ( n + β ) = ζ H ( − 1 ; β ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(n+\beta )=\zeta _{\text{H}}(-1;\beta )} で与えられる[注釈 1]。ゼータ正則化和 1 + 1 + 1 + 1 + ? は ζR(0) = ?.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2 に、また 1 + 2 + 3 + 4 + ? は ζR(?1) = ?1/12 に（ゼータとしてはリーマンゼータ函数 ζR をとって）割り当てられるけれども、上記の和が − 1 12 − β 2 {\textstyle -{\frac {1}{12}}-{\frac {\beta }{2}}} に等しいとは一般にはならない。
注釈^ 一般形は ∑ n = 0 ∞ ( a n + b ) = a ∑ n = 0 ∞ ( n + ( b / a ) ) = a ζ H ( − 1 ; b / a ) {\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }(an+b)=a\sum _{n=0}^{\infty }(n+(b/a))=a\zeta _{\text{H}}(-1;b/a)} と見なすと処理できる。

参考文献

Brevik, I.; Nielsen, H. B. (February 1990). “Casimir energy for a piecewise uniform string”. Physical Review D 41 (4): 1185?1192. doi:10.1103/PhysRevD.41.1185. 

Elizalde, E. (May 1994). “Zeta-function regularization is uniquely defined and well”. Journal of Physics A: Mathematical and General 27 (9): L299?L304. doi:10.1088/0305-4470/27/9/010.  ( ⇒arXiv preprint)

Li, Xinzhou; Shi, Xin; Zhang, Jianzu (July 1991). “Generalized Riemann ζ-function regularization and Casimir energy for a piecewise uniform string”. Physical Review D 44 (2): 560?562. doi:10.1103/PhysRevD.44.560. 

関連項目

1 ? 2 + 3 ? 4 + ?

表

話

編

歴
級数・数列
等差数列

発散級数

1 + 1 + 1 + 1 + ?

1 + 2 + 3 + 4 + ?

無限算術級数


等比数列

収束級数

1/2 ? 1/4 + 1/8 ? 1/16 + ?

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ?

1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ?

発散級数

1 + 1 + 1 + 1 + ?

1 + 2 + 4 + 8 + ?

1 ? 2 + 4 ? 8 + ?

グランディ級数


整数列

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