解析幾何学において、平面曲線の漸近線（ぜんきんせん、英: asymptote）とは、十分遠くで曲線との距離が 0 に近づき、かつ曲線と接しない直線のことである。通常の定義では、漸近線は曲線と無限回交わってもよい[1]。

漸近線は存在するとは限らず、また複数存在する場合もある。漸近線は、曲線上の点が十分進んだ所での概形である。

特に、座標平面における関数に対しては、そのグラフの漸近線の方程式は（存在の可否も含めて）求め方が確立されている。関数のグラフの接線の極限が存在するならばそれは漸近線に等しい[2]。

代数幾何学などでは、漸近線は無限遠点のみで曲線と接する直線と定義される[3][4]。

漸近線として直線だけでなく曲線を考えることもある。
例グラフ y = 1/x の漸近線は、x軸および y軸である。曲線が漸近線と無限回交わる例

定数関数、多項式関数のグラフには、漸近線は存在しない。漸近線が存在する最も簡単な例は、関数 f(x) = 1/x のグラフである。このグラフの漸近線は、直線 x = 0 と直線 y = 0 である。グラフを描くと、曲線 y = 1/x は x → 0±, x → ±∞ のときにそれぞれ y軸、x軸に近づくことが見てとれる。この場合はグラフと漸近線は共有点を全く持たないが、一般にはそうとは限らない。漸近線が存在する関数は他にもいくつかある。

なかでも代表的なものは以下の通りである。

座標平面上の関数とその漸近線関数名関数式漸近線の方程式
正接関数y = tan xx = π/2 + nπ
（n は整数）
指数関数y = ax (a > 0, a ≠ 1)y = 0
対数関数y = loga x (a > 0, a ≠ 1)x = 0
双曲線 x 2 a 2 − y 2 b 2 = ± 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=\pm 1} (a > 0, b > 0)y = ±b/ax
双曲線正接関数 y = tanh ⁡ x = e x − e − x e x + e − x {\displaystyle y=\tanh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}} y = ±1
逆正接関数y = arctan xy = ±π/2
逆双曲線正接関数y = tanh−1 x = 1/2 log 1 + x/1 − xx = ±1

分数関数においては、分母が 0 になるところで漸近線になり、x → ±∞ で漸近線が存在する場合があるが、それぞれ存在しないこともある。どちらも存在しない例： y = x 4 + x 2 + 1 x 2 + 1 {\displaystyle y={\frac {x^{4}+x^{2}+1}{x^{2}+1}}}

無理関数で漸近線が存在するのは y = ∑ i = 1 n k i ( x − u i ) p i ± a i p i p i + ( b x + c ) {\displaystyle y=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}k_{i}{\sqrt[{p_{i}}]{(x-u_{i})^{p_{i}}\pm {a_{i}}^{p_{i}}}}+(bx+c)} (ai > 0)

の形に限られる（漸近線は y = ∑ i = 1 n k i ( x − u i ) + b x + c {\displaystyle y=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}k_{i}(x-u_{i})+bx+c} ）。

グラフと漸近線がどんな遠くでも無限回交わる例もある。減衰曲線（y = sin x/x や y = e−xsin x など）と x軸はその一例である。
関数の漸近線

関数 y = f(x) のグラフの（直線である）漸近線は、次の2タイプである。
y軸に平行の直線（方程式を x = a とする）

x → ∞ または x → −∞ で漸近する直線（方程式を y = ax + b とする）

y軸平行の漸近線

直線 x = a がグラフ y = f(x) の漸近線であるための必要十分条件は、以下の4つのいずれかを満たすことである。

lim x → a + f ( x ) = ∞ , {\displaystyle \lim _{x\to a+}f(x)=\infty ,}

lim x → a + f ( x ) = − ∞ , {\displaystyle \lim _{x\to a+}f(x)=-\infty ,}

lim x → a − f ( x ) = ∞ , {\displaystyle \lim _{x\to a-}f(x)=\infty ,}