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漸近展開（ぜんきんてんかい、英: Asymptotic expansion）とは、与えられた関数を、より簡単な形をした関数列の級数として近似することをいう。テイラー展開は漸近展開の特別な場合であるが、漸近展開で得られた級数の値は、必ずしも元の関数の値に収束するとは言えない。しかし、関数の性質を調べる際、元の関数の形では扱いが難しい場合、漸近展開によって元の関数を級数の形で近似することにより、関数の性質が得られることがある。漸近展開は解析学 (例えば複素解析[1]や特殊関数に対する数値解析[2]など) では重要な手法の一つであり、確率論の基礎として用いることがある[3]。
漸近級数

関数 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} を定義域が実数の領域で定義された関数とし[注釈 1]、 x 0 {\displaystyle x_{0}} を f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} の定義域内の点とする。

関数列 { φ n ( x ) } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{\varphi _{n}(x)\}_{n\geq 0}} が次の条件を満たすとき、漸近関数列という。

φ n + 1 ( x ) = o ( φ n ( x ) )       ( x → x 0 )         ( n = 0 ,   1 ,   2 , … ) {\displaystyle \varphi _{n+1}(x)=o(\varphi _{n}(x))\ \ \ (x\to x_{0})\ \ \ \ (n=0,\ 1,\ 2,\ldots )}

実数列 { a n } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{a_{n}\}_{n\geq 0}} が存在して、任意の正整数 n に対し

f ( x ) − ∑ k = 0 n a k φ k ( x ) = o ( φ n ( x ) )           ( x → x 0 ) {\displaystyle f(x)-\sum _{k=0}^{n}a_{k}\varphi _{k}(x)=o(\varphi _{n}(x))\ \ \ \ \ (x\to x_{0})}

が成立するとき、

∑ k = 0 ∞ a k φ k ( x ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)}

を f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} の漸近級数といい、

f ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ a k φ k ( x ) {\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)}

と表す。

さらに、漸近級数が次の条件を満たすとき、ポアンカレの意味での漸近級数または狭義の漸近級数という[4]。

任意の正整数 n、 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} の定義域内の x に対して
。 f ( x ) − ∑ k = 0 n a k φ k ( x ) 。 < 。 a n + 1 φ n + 1 ( x ) 。 {\displaystyle \left|f(x)-\sum _{k=0}^{n}a_{k}\varphi _{k}(x)\right|<|a_{n+1}\varphi _{n+1}(x)|} が成立する。

漸近関数列が { ( x − x 0 ) n } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{(x-x_{0})^{n}\}_{n\geq 0}} ( 。 x 0 。 < ∞ ) {\displaystyle \scriptstyle (|x_{0}|<\infty )} または { x − n } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{x^{-n}\}_{n\geq 0}} ( 。 x 0 。 = ∞ ) {\displaystyle \scriptstyle (|x_{0}|=\infty )} の形の漸近級数を、漸近冪級数という。

与えられた漸近関数列を用いて、 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} の漸近級数を得ることを漸近展開といい、 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} の漸近級数 ∑ k = 0 ∞ a k φ k ( x ) {\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)} が存在する場合、 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} は漸近展開

f ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ a k φ k ( x ) {\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)}

を持つという。
性質
一意性

任意の関数 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} に対して、 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} に対する漸近級数は存在しても唯一とは限らない。例えば

1 / ( x − 1 ) ∼ ∑ k = 1 ∞ x − k         ( x → ∞ ) {\displaystyle 1/(x-1)\sim \sum _{k=1}^{\infty }x^{-k}\ \ \ \ (x\to \infty )}

1 / ( x − 1 ) ∼ ∑ k = 1 ∞ ( x 2 + x + 1 ) x − 3 k         ( x → ∞ ) {\displaystyle 1/(x-1)\sim \sum _{k=1}^{\infty }(x^{2}+x+1)x^{-3k}\ \ \ \ (x\to \infty )}

しかし、与えられた漸近関数列に対する漸近級数は存在しても唯１つしか存在しない。従って、ある点でテイラー展開された冪級数は、その点での唯一の漸近冪級数である。

さらに、漸近級数の各係数は

a 0 = lim x → x 0 f ( x ) ,           a n = lim x → x 0 f ( x ) − ∑ k = 0 n − 1 a k φ k ( x ) φ n ( x )       ( n ≥ 1 ) {\displaystyle a_{0}=\lim _{x\to x_{0}}f(x),\ \ \ \ \ a_{n}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}\varphi _{k}(x)}{\varphi _{n}(x)}}\ \ \ (n\geq 1)}