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出典検索?: "演算子" 物理学 ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2023年9月）

物理学における演算子（えんざんし、operator）とはある物理状態の空間から別の物理状態の空間への関数のこと。演算子が用いられている最も簡単な例として対称性があり、群の考え方を有益にしている。このことから、演算子は古典力学において非常に有用なツールとなる。量子力学では演算子はさらに重要で、理論の定式化において本質的な部分をなす。数学では「作用素」という語が使われているものと同じものであるが、以下では物理の観点から述べる（英語では同じ語で operator である）。
古典力学

古典力学では粒子（または粒子系）の運動はラグランジアン L ( q , q ˙ , t ) {\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)} やそれと等価であるハミルトニアン H ( q , p , t ) {\displaystyle H(q,p,t)} によって完全に決定される。これらは一般化座標q、一般化速度 q ˙ = d q / d t {\displaystyle {\dot {q}}=\mathrm {d} q/\mathrm {d} t} 、共役運動量 p = ∂ L ∂ q ˙ {\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}}

についての関数である。

LやHが一般化座標qと無関係であるときは、qが変化してもLやHは変化しない。よってqが変化しても粒子のダイナミクスは変わらないままであり、これらの座標に共役な運動量は保存する。（これはネーターの定理の一例で、座標qについての運動の不変性は対称性となる。）古典力学における演算子は、これらの対称性と関連している。

より専門的には、Hが変換Gの群の作用下で不変であるとき、 S ∈ G , H ( S ( q , p ) ) = H ( q , p ) {\displaystyle S\in G,H(S(q,p))=H(q,p)} .

Gの元は物理的な演算子で、物理状態と対応する。
古典力学での演算子一覧

変換演算子位置運動量
並進対称性 X ( a ) {\displaystyle X(\mathbf {a} )} r → r + a {\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {a} } p → p {\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} }
時間並進 U ( t 0 ) {\displaystyle U(t_{0})} r ( t ) → r ( t + t 0 ) {\displaystyle \mathbf {r} (t)\rightarrow \mathbf {r} (t+t_{0})} p ( t ) → p ( t + t 0 ) {\displaystyle \mathbf {p} (t)\rightarrow \mathbf {p} (t+t_{0})}
回転不変性 R ( n ^ , θ ) {\displaystyle R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )} r → R ( n ^ , θ ) r {\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {r} } p → R ( n ^ , θ ) p {\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {p} }
ガリレイ変換 G ( v ) {\displaystyle G(\mathbf {v} )} r → r + v t {\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {v} t} p → p + m v {\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} +m\mathbf {v} }
パリティ P {\displaystyle P} r → − r {\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow -\mathbf {r} } p → − p {\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} }
T対称性 T {\displaystyle T} r → r ( − t ) {\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} (-t)} p → − p ( − t ) {\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} (-t)}

ここで R ( n ^ , θ ) {\displaystyle R({\hat {\boldsymbol {n}}},\theta )} は、単位ベクトル n ^ {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {n}}}} と角度θで定義される回転行列。
量子力学

この節の加筆が望まれています。

位置表示した波動関数 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} に対して、位置演算子 x ^ = x {\displaystyle {\hat {x}}=x} 、運動量演算子 p ^ = − i ℏ ∂ / ∂ x {\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar \partial /\partial x} である（ i {\displaystyle i} は虚数単位、 ℏ {\displaystyle \hbar } はディラック定数）。運動量表示した波動関数 ψ ( p ) {\displaystyle \psi (p)} に対して、運動量演算子 p ^ = p {\displaystyle {\hat {p}}=p} 、位置演算子 x ^ = i ℏ ∂ / ∂ p {\displaystyle {\hat {x}}=i\hbar \partial /\partial p} である。量子力学における演算子は必ずしも交換しない。たとえば上記の位置演算子と運動量演算子は非可換である： [ x ^ , p ^ ] ≡ x ^ p ^ − p ^ x ^ = i ℏ {\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]\equiv {\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}}=i\hbar } （不確定性原理も参照）。
出典
関連項目

有界線形作用素

表現論

表

話

編

歴
物理学の演算子
一般

時間と空間

時間反転 T

パリティ P

時間発展 U(t)

並進 U(x)